후르비츠-크로네커 유수

개요

• $\mathcal{Q}_d$는 $-d=b^2-4ac$를 만족하는 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms) $Q=[a,b,c]=ax^2+2xby+cy^2$의 집합
• 모듈라군 $\Gamma=PSL(2,\mathbb{Z})$은 $\mathcal{Q}_d$에 작용
• 각각의 $Q$에 대하여, 자기동형군 $\Gamma_{Q}$을 생각, $w_{Q}=|\Gamma_{Q}|$
  • $w_Q=2$ if $Q\sim [a,0,a]$
  • $w_Q=3$ if $Q\sim [a,a,a]$
  • 다른 경우 $w_Q=1$
• 후르비츠-크로네커 수는 다음과 같이 정의

\[H(d)=\sum_{Q\in Q_d/\Gamma} \frac{1}{w_Q}\]

예

• 판별식이 작은 경우의 이차형식 목록

$d=3$

• $Q=x^2+xy+y^2$, $w_Q=3$

$d=4$

• $Q=x^2+y^2$, $w_Q=2$

$d=12$

• \(Q=3x^2+y^2\),$w_Q=1$
• \(Q=2x^2+2xy+2y^2\), $w_Q=3$

$d=15$

• \(Q=x^2+xy+4y^2\), $w_Q=1$
• \(Q=2x^2+xy+2y^2\), $w_Q=1$

후르비츠-크로네커 유수

\[ H(3)=\frac{1}{3}\\ H(4)=\frac{1}{2}\\ H(12)=1+\frac{1}{3}\\ H(15)=2\]

생성함수

• 다음과 같이 생성함수를 정의하자

$$ \mathcal{H}_1(\tau):=\sum_{n=0}^{\infty}H(n)q^n,\, q=e^{2\pi i n} $$

• $\mathcal{H}_1$는 적당한 항을 더하여, weight $3/2$인 유사 모듈라 형식(mock modular form) 으로 만들 수 있다

관련논문

• “Traces of CM Values of Modular Functions : Journal Fur Die Reine Und Angewandte Mathematik (Crelles Journal).” Accessed June 13, 2015. http://www.degruyter.com/view/j/crll.2006.2006.issue-594/crelle.2006.034/crelle.2006.034.xml.
• Don Zagier, Traces of singular Moduli, Motives, Polyogarithms and Hodge Theory (Part II: Hodge Theory)
• Cohen, Henri. 1975. “Sums Involving the Values at Negative Integers of L-Functions of Quadratic Characters.” Mathematische Annalen 217 (3): 271–85. doi:10.1007/BF01436180.
• Zagier, Don. 1975. “Nombres de Classes et Formes Modulaires de Poids $3/2$.” C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 281 (21): Ai, A883–A886.