로저스-세괴 다항식 (Rogers-Szegő polynomials)

개요

• 직교다항식의 하나
• $0\leq k\leq n$인 정수 $k,n$에 대하여, Q-이항계수 (가우스 다항식)

$$ \begin{bmatrix} n\\ k\end{bmatrix}_{q}:=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}} $$

• 로저스-세괴 다항식 $H_m(z;q),\, m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$는 다음과 같이 정의된다

\begin{equation}\label{RS} H_m(z;q):=\sum_{k=0}^m z^k \begin{bmatrix} m\\ k\end{bmatrix}_{q} \end{equation}

성질

• 다음과 같은 3항 점화식을 만족

$$ H_{m+1}(z;q)=(1+z)H_m(z;q)-(1-q^m) z H_{m-1}(z;q) $$ 이 때, $H_{-1}=0$, $H_0=1$

• 단위원에서 정의된 다음 무게에 의한 측도에 대하여, 직교성을 가진다

\[ w(z;q)=|(zq^{1/2};q)_{\infty}|^2 \qquad (0<q<1). \]

관련논문

• Jagannathan, R., and R. Sridhar. “(p,q)-Rogers-Szego Polynomial and the (p,q)-Oscillator.” arXiv:1005.4309 [math-Ph], May 24, 2010. http://arxiv.org/abs/1005.4309.
• Warnaar, S. Ole. “Rogers-Szego Polynomials and Hall-Littlewood Symmetric Functions.” arXiv:0708.3110 [math], August 22, 2007. http://arxiv.org/abs/0708.3110.
• Galetti, D., S. S. Mizrahi, and M. Ruzzi. “The Wigner Function Associated with the Rogers-Szegö Polynomials.” Journal of Physics A: Mathematical and General 37, no. 50 (December 17, 2004): L643. doi:10.1088/0305-4470/37/50/L01.
• Atakishiyev, N. M., and Sh M. Nagiyev. “On the Rogers-Szego Polynomials.” Journal of Physics A: Mathematical and General 27, no. 17 (September 7, 1994): L611. doi:10.1088/0305-4470/27/17/003.