로저스-세괴 다항식 (Rogers-Szegő polynomials)
개요
- 직교다항식의 하나
- $0\leq k\leq n$인 정수 $k,n$에 대하여, Q-이항계수 (가우스 다항식)
$$ \begin{bmatrix} n\\ k\end{bmatrix}_{q}:=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}} $$
- 로저스-세괴 다항식 $H_m(z;q),\, m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$는 다음과 같이 정의된다
\begin{equation}\label{RS} H_m(z;q):=\sum_{k=0}^m z^k \begin{bmatrix} m\\ k\end{bmatrix}_{q} \end{equation}
성질
- 다음과 같은 3항 점화식을 만족
$$ H_{m+1}(z;q)=(1+z)H_m(z;q)-(1-q^m) z H_{m-1}(z;q) $$ 이 때, $H_{-1}=0$, $H_0=1$
- 직교성
$$ \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}H_{m}(-q^{-1/2}e^{i\theta};q)H_{n}(-q^{-1/2}e^{-i\theta};q)\theta_{3}(\theta,q)\,d\theta=\frac{(q;q)_m}{q^m}\delta_{m,n} $$ 여기서 $\theta_3(\theta;q)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}q^{m^2/2}e^{i m \theta}$는 자코비 세타함수
테이블
\begin{array}{c|c} n & H_n\text{(x)} \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & z+1 \\ 2 & q z+z^2+z+1 \\ 3 & (z+1) \left(q^2 z+q z+z^2+1\right) \\ 4 & q^4 z^2+q^3 z^3+q^3 z^2+q^3 z+q^2 z^3+2 q^2 z^2+q^2 z+q z^3+q z^2+q z+z^4+z^3+z^2+z+1 \\ \end{array}
메모
\[ w(z;q)=|(zq^{1/2};q)_{\infty}|^2 \qquad (0<q<1). \]
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사전 형태의 자료
관련논문
- Jagannathan, R., and R. Sridhar. “(p,q)-Rogers-Szego Polynomial and the (p,q)-Oscillator.” arXiv:1005.4309 [math-Ph], May 24, 2010. http://arxiv.org/abs/1005.4309.
- Warnaar, S. Ole. “Rogers-Szego Polynomials and Hall-Littlewood Symmetric Functions.” arXiv:0708.3110 [math], August 22, 2007. http://arxiv.org/abs/0708.3110.
- Galetti, D., S. S. Mizrahi, and M. Ruzzi. “The Wigner Function Associated with the Rogers-Szegö Polynomials.” Journal of Physics A: Mathematical and General 37, no. 50 (December 17, 2004): L643. doi:10.1088/0305-4470/37/50/L01.
- Atakishiyev, N. M., and Sh M. Nagiyev. “On the Rogers-Szego Polynomials.” Journal of Physics A: Mathematical and General 27, no. 17 (September 7, 1994): L611. doi:10.1088/0305-4470/27/17/003.