슈르 다항식(Schur polynomial)

개요

대칭다항식의 하나
수학의 많은 영역에서 등장함
대칭군의 표현론에서 중요한 역할

정의

변수의 개수 $n$과 $d$의 (0을 허용하며, 크기가 $n$인) 분할(partition) $\lambda$가 주어지면 $d$차 다항식 $ s_\lambda(x_1,\ldots,x_n)$ 이 결정된다
- 분할 $\lambda$의 크기가 $n$보다 큰 경우, $s_{\lambda}=0$
다음과 같은 두 개의 분할을 생각하자
- $\rho : n-1,n-2,\cdots, 0$
- $d$의 (크기가 $n$인) 분할 \[\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0\]
다음과 같이 $n\times n$ 행렬의 행렬식으로 두 다항식을 정의하자

\[a_{\lambda+\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{\lambda_{j}+n-j})_{1\le i,j\le n}\] \[a_{\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{n-j})_{1\le i,j\le n}\label{van}\]

\ref{van}의 $a_{\rho}$는 반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)에서 등장하는 반데몬드 다항식이다
슈르다항식은 다음과 같이 정의된다 \[s_{\lambda} = \frac{a_{\lambda+\rho}}{a_{\rho}}\]
교대다항식은 반데몬드 다항식으로 나누어 얻어지므로, 대칭다항식이 된다

예

변수의 개수가 2이고, 4의 분할인 경우

\begin{array}{c|c} \lambda & s_{\lambda } \\ \hline \{4\} & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4 \\ \{3,1\} & x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3 \\ \{2,2\} & x_1^2 x_2^2 \\ \{2,1,1\} & 0 \\ \{1,1,1,1\} & 0 \end{array}

변수의 개수가 3이고, 4의 분할인 경우

\begin{array}{c|c} \lambda & s_{\lambda } \\ \hline \{4\} & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+x_1^3 x_3+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3+x_3^4 \\ \{3,1\} & x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+2 x_1^2 x_2 x_3+2 x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+2 x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3 \\ \{2,2\} & x_1^2 x_2^2+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2 \\ \{2,1,1\} & x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2 \\ \{1,1,1,1\} & 0 \end{array}

영 태블로

영 태블로(Young tableau)를 이용한 슈르 다항식의 표현

\[s_\lambda(x_1,\ldots,x_n) = \sum_T w(T)\] 여기서 $T$는 $\lambda$ 형태의 준표준 영 태블로

예 $n=3$, $\lambda=(2,1,1)$의 경우, $s_{\lambda}(x_1,x_2,x_3)=x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2$

$$ \begin{array}{cc} \boxed{1} & \boxed{1} \\ \boxed{2} & {} \\ \boxed{3} & {} \\ \end{array},\, \begin{array}{cc} \boxed{1} & \boxed{2} \\ \boxed{2} & {} \\ \boxed{3} & {} \\ \end{array},\, \begin{array}{cc} \boxed{1} & \boxed{3} \\ \boxed{2} & {} \\ \boxed{3} & {} \\ \end{array}\, $$

코스트카 수 (Kostka number)

The first Giambelli formula (Jacobi-Trudy 항등식)

슈르 다항식은 완전 동차 대칭 다항식 (complete homogeneous symmetric polynomial)의 다항식으로 표현할 수 있다

정리 (자코비-트루디)

$s_{\lambda} = \operatorname{det}(h_{\lambda_{i}-i+j})$

예

변수가 3인 경우의 complete homogeneous polynomial은 다음과 같다

\[\left( \begin{array}{cc} h_1 & x_1+x_2+x_3 \\ h_2 & x_1^2+x_1 x_2+x_2^2+x_1 x_3+x_2 x_3+x_3^2 \\ h_3 & x_1^3+x_1^2 x_2+x_1 x_2^2+x_2^3+x_1^2 x_3+x_1 x_2 x_3+x_2^2 x_3+x_1 x_3^2+x_2 x_3^2+x_3^3 \\ h_4 & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+x_1^3 x_3+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3+x_3^4 \end{array} \right)\]

예 \[s_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3)=\left( \begin{array}{ccc} h_2 & h_3 & h_4 \\ 1 & h_1 & h_2 \\ 0 & 1 & h_1 \\ \end{array} \right)=h_1^2 h_2-h_2^2-h_1 h_3+h_4\]

코쉬 항등식

다음이 성립한다

$$ \prod_{i,j}(1-x_iy_j)^{-1}=\sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)s_{\lambda}(y) $$

1변수의 예

크기가 1보다 작거나 같은 분할은 $(n), n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$꼴로 주어진다
슈르다항식은 $s_{(n)}(x_1)=x_1^n$
따라서

$$ \sum_{n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}}s_{(n)}(x_1)s_{(n)}(y_1)=1+x_1 y_1+x_1^2 y_1^2+x_1^3 y_1^3+\cdots=\frac{1}{1-x_1y_1} $$

2변수의 예

$$ \begin{aligned} \prod_{1\leq i,j\leq 2}(1-x_iy_j)^{-1}&=\sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)s_{\lambda}(y)\\ &=1+x_1 y_1+x_2 y_1+x_1 y_2+x_2 y_2\\ &+x_1^2 y_1^2+x_1 x_2 y_1^2+x_2^2 y_1^2+x_1^2 y_1 y_2+2 x_1 x_2 y_1 y_2+x_2^2 y_1 y_2+x_1^2 y_2^2+x_1 x_2 y_2^2+x_2^2 y_2^2\\ &+x_1^3 y_1^3+x_1^2 x_2 y_1^3+x_1 x_2^2 y_1^3+x_2^3 y_1^3+x_1^3 y_1^2 y_2+2 x_1^2 x_2 y_1^2 y_2+\cdots \end{aligned} $$

리틀우드 항등식

다음이 성립한다

$$ \sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)=\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{1-x_{i}}\prod_{1\leq i<j\leq n}\frac{1}{1-x_ix_j} $$

The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups (AMS Chelsea Publishing): Dudley E. Littlewood, http://www.amazon.com/Theory-Characters-Representations-Chelsea-Publishing/dp/0821840673.

정리 (맥도날드)

임의의 $m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$에 대하여, 다음이 성립한다 $$ \sum_{\substack{\lambda \\ \lambda_1\leq m}}s_{\lambda}(x)=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n}(x_i^{m+2n-j}-x_i^{j-1})}{\prod_{i=1}^{n}(1-x_{i})\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)(x_ix_j-1)} $$

역사

메모

슈르 다항식의 기약성 http://mathoverflow.net/questions/98494/irreducibility-of-schur-polynomials
$s_{\lambda} =\sum_{w\in S_{r} } \epsilon(w) h_{\lambda+\rho - w.\lambda}$

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYWE1NTJlYzktMTk5Mi00YWUyLWE2M2YtMTdhNmIwOTc0NmY3/edit

수학용어번역

표준, standard - 대한수학회 수학용어집
준,반, semi - 대한수학회 수학용어집

사전 형태의 자료

리뷰논문, 에세이, 강의노트

Tamvakis, Harry. 2012. “The Theory of Schur Polynomials Revisited.” L’Enseignement Mathématique. Revue Internationale. 2e Série 58 (1-2): 147–163. http://arxiv.org/abs/1008.3094
Bruce Sagan, Schur functions in algebraic combinatorics, in Encyclopaedia of Mathematics, Supplement II M. Hazewinkel ed., Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000, 409-411 http://www.math.msu.edu/~sagan/Papers/Old/schur.pdf
Macdonald, I. G. 1992. “Schur Functions: Theme and Variations.” In Séminaire Lotharingien de Combinatoire (Saint-Nabor, 1992), 498:5–39. Publ. Inst. Rech. Math. Av. Strasbourg: Univ. Louis Pasteur. http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1308728. http://emis.u-strasbg.fr/journals/SLC/opapers/s28macdonald.pdf