가우스와 정17각형의 작도

간단한 소개

• 가우스는 정17각형이 자와 컴파스로 작도가능함을 증명함.
• 대수적으로, \(z^{16}+z^{15}+\cdots+z+1=0\)의 풀이를 반복적인 2차방정식의 풀이로 환원할 수 있는가의 문제.
• 이 아이디어를 좀더 간단한 예를 통해 이해하기 위해서는 정오각형 항목 중 꼭지점의 평면좌표를 참조

• 16차 방정식을 2차방정식 네번 푸는 문제로 바꾸는 것.

 

증명

• \(\zeta=e^{2\pi i \over 17}\)  로 두자. 이 값을 대수적으로 구하는 것이 목표.
• \((3^1, 3^2,3^3, 3^4, 3^5, 3^7, 3^8, 3^9, 3^{10}, 3^{11}, 3^{12}, 3^{13}, 3^{14}, 3^{15}, 3^{16}) \equiv (3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4,12, 2, 6, 1) \pmod {17}\)
• 이 순서대로 2로 나눈 나머지에 따라서 분류
  
  • \(A_0 = \zeta^{9} + \zeta^{13} + \zeta^{15} + \zeta^{16}+\zeta^{8} + \zeta^{4} + \zeta^{2} +\zeta^{1}\)
  • \(A_1 = \zeta^3 + \zeta^{10} + \zeta^{5} + \zeta^{11}+\zeta^{14} + \zeta^{7} + \zeta^{12} +\zeta^{6}\)
  • \(A_0+A_1= -1\), \(A_{0}A_{1} = -4\), \(A_0>A_1\)
  • \(A_0 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}\) , \(A_1= \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}\)
• 이번에는 4로 나눈 나머지에 따라서 분류
  
  • \(B_0 = \zeta^{13}+ \zeta^{16}+ \zeta^4 + \zeta^1 \)
  • \(B_1= \zeta^3 + \zeta^5 + \zeta^{14} + \zeta^{12}\)
  • \(B_2= \zeta^9 + \zeta^{15} + \zeta^8 +\zeta^2\)
  • \(B_3 =\zeta^{10} + \zeta^{11} + \zeta^{7} +\zeta^{6}\)
  • \(B_0+B_2=A_0\), \(B_0B_2= -1\), \(B_0>0\)
  • \(B_0 = \frac{-1 + \sqrt{17} + \sqrt{34 - 2\sqrt{17}}}{4}\), \(B_2 = \frac{-1 + \sqrt{17} - \sqrt{34 - 2\sqrt{17}}}{4}\)
  • \(B_1+B_3=A_1\), \(B_1B_3= -1\), \(B_{1}> 0\)
  • \(B_1 = \frac{-1 - \sqrt{17} + \sqrt{34 + 2\sqrt{17}}}{4}\), \(B_3 = \frac{-1 - \sqrt{17} - \sqrt{34 + 2\sqrt{17}}}{4}\)
• 이번에는 8로 나눈 나머지에 따라서 분류
  
  • \(C_0= \zeta^{16}+ \zeta^1\), \(C_4= \zeta^{13} +\zeta^4\), \(C_0 > C_1\)
  • \(C_0+C_4=B_0\), \(C_0C_4=B_1\)
  • \(C_0= \frac{B_0+\sqrt{B_0^2-4B_1}}{2}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{8}\)
  • \(C_4= \frac{B_0 - \sqrt{B_0^2-4B_1}}{2}\)
• 이제 마무리
  
  • \(\zeta =\frac{{C_0} + \sqrt{{C_0}^2 - 4}}{2}\)
  • \(\cos \frac{2\pi}{17}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{16}\)

 

 

가우스합과의 관계

• 참고로 위에서 \(A_0-A_1\) 은 가우스합 임을 알 수 있음.
  
  • \(\{3, 10, 5, 11, 14, 7, 12, 6\}\) 는 \(\pmod {17}\) 에 대하여 이차비잉여
  • \(\{9, 13, 15, 16, 8, 4, 2, 1\}\)는  \(\pmod {17}\) 에 대하여 이차잉여
  • 따라서 \(A_{0}A_{1}\)를 계산하는 대신에 \(A_0-A_1=\sqrt{17}\) 를 활용할 수도 있음.

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 추상대수학
  
  • 순환군
  • 가해군 (solvable groups)
• 초등정수론
  
  • 합동식과 군론
  • 원시근(primitive root)
  • 오일러의 totient 함수

 

관련된 다른 주제들

• 그리스 3대 작도 불가능문제
• 정다각형의 작도
• 원시근(primitive root)

 

 

표준적인 도서 및 추천도서

• Famous Problems of Elementary Geometry (Dover Phoenix Editions)
  
  • 펠릭스 클라인 Felix Klein
  • 얇은 책으로, 대수방정식과 함께 고대 그리스 3대 작도 불가능문제를 소개함.
  • The constuction of the Regular Polygon of 17 sides (pdf)
• Elliptic functions and elliptic integrals
  
  • Viktor Prasolov, Yuri Solovyev
  • construction_of_a_regular_17-gon.pdf
• Lectures on Elementary Number Theory
  
  • Hans Rademacher

 

위키링크

• http://en.wikipedia.org/wiki/Heptadecagon

 

 

참고할만한 자료

• 정17각형의 작도 과정을 보여주는 동영상
  
  • Youtube