가우스의 class number one 문제

간단한 소개

• 수체의 class number는 기본적으로 그 수체의 대수적정수들이 UFD를 이루는지, 벗어난다면 얼마나 벗어나는지를 재주는 것으로 이해할 수 있음.
  
  • class number 가 1인 경우, UFD가 됨.
• 더 엄밀하게는 class number 는 class group 의 원소의 개수임.
• class group = the group of fractional ideals/the group of principal ideals
• 복소 이차 수체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-d})\) 가 class number 1인 경우 즉 그 정수집합이 UFD가 되는 경우는 다음 9가지가 있음.
  
  • \(d=1,2,3,7,11,19,43,67,163\)
• 가우스가 정수계수 이차형식을 연구하며 위의 결과를 추측했고, 20세기 후반에 증명이 얻어짐.

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 초등정수론
• 추상대수학

 

 

 

관련된 다른 주제들

• 이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론
• 오일러의 소수생성다항식
   
  

표준적인 도서 및 추천도서

• Primes of the Form x2 + ny2 : Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication 
  
  • David A. Cox

 

위키링크

• http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_one_problem
• http://en.wikipedia.org/wiki/Heegner_number

 

참고할만한 자료

• The Class Number Problem
  
  • Roy W. Ryden
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 86, No. 3 (Mar., 1979), pp. 200-202
• Nine Magic Discriminant[[1989756/attachments/912132|]]
  
  • J. Conway and R. Guy
  • the book of numbers 224-226p에서 발췌