각의 삼등분(3등분, The trisection of an angle)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 6월 29일 (월) 23:21 판
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간단한 소개
  • 작도문제와 구적가능성 에 나온 서술된 바와 같이, 작도가 가능한 수는 유리수체로부터 시작하여, 그 원소들의 제곱근을 통해 얻어지는 체확장을 반복해서 얻어지는 수의 집합 안에 들어 있다.
  • 만약 3등분 가능하지 않은 각을 제시할 수 있으면 증명이 된다.

 

3등분 가능하지 않은 각도

먼저 유리수체로부터 시작하여, 그 원소들의 제곱근을 통해 얻어지는 체확장을 반복해서 얻어지는 모든 수의 집합을 \(\mathbb K\)라 하자.

주어진 각 \(\theta=\frac{\pi}{3}\) 를 3등분하는 경우에 대하여 생각해 보자. 먼저 이 각도는 정삼각형의 한 각의 크기와 같으므로, 자와 컴파스로 작도가능하다.

여기서는 각도 \(\alpha = \frac{\theta}{3}\) 는 작도가능하지 않음을 보이자. 즉, \(\cos \alpha\)가 \(\mathbb K\) 안에 들어있지 않음을 보이면 된다.

\(\cos \theta = \frac{1}{2}\) 와 코사인이 만족시키는 공식 \(\cos(3\alpha) = 4\cos^{3}(\alpha) - 3\cos(\alpha)\) 을 활용하면,  \(\cos \alpha\)

\(y=\cos \alpha\) 는 유리계수다항식 \(1/2 = 4y^{3} - 3y\) 즉, 

Note that a number constructible in one step from a field K is a solution of a second-order polynomial. Note also that π / 3 radians (60 degrees, written 60°) is constructible.

However, the angle of π / 3 radians (60 degrees) cannot be trisected. Note \(\cos(\pi/3) = \cos(60^\circ) = 1/2\).

If 60° could be trisected, the minimal polynomial of \(\cos(20^\circ)\) over \(\mathbb{Q}\) would be of second order. Note the trigonometric identity cos(3α) = 4cos3(α) − 3cos(α). Now let \(y = \cos(20^\circ)\).

By the above identity, \(\cos(60^\circ) = 1/2 = 4y^{3} - 3y\). So 4y3 − 3y − 1 / 2 = 0. Multiplying by two yields 8y3 − 6y − 1 = 0, or (2y)3 − 3(2y) − 1 = 0. Now substitute x = 2y, so that x3 − 3x − 1 = 0. Letp(x) = x3 − 3x − 1.

The minimal polynomial for x (hence \(\cos(20^\circ)\)) is a factor of p(x). If p(x) has a rational root, by the rational root theorem, it must be 1 or −1, both clearly not roots. Therefore p(x) is irreducible over \(\mathbb{Q}\), and the minimal polynomial for \(\cos(20^\circ)\) is of degree 3.

So an angle of \(60^\circ = \pi/3\) radians cannot be trisected.

 

 

 

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