각의 삼등분(3등분, The trisection of an angle)

작도문제와 구적가능성 에 나온 서술된 바와 같이, 작도가 가능한 수는 유리수체로부터 시작하여, 그 원소들의 제곱근을 통해 얻어지는 체확장을 반복해서 얻어지는 체에 들어 있다.

만약 3등분 가능하지 않은 각을 제시할 수 있으면 증명이 끝난다.

먼저 유리수체로부터 시작하여, 그 원소들의 제곱근을 통해 얻어지는 체확장을 반복해서 얻어지는 모든 수가 이루는 체를 \(\mathbb K\)라 하자.

주어진 각 \(\theta=\frac{\pi}{3}\) 를 3등분하는 경우에 대하여 생각해 보자. 먼저 이 각도는 정삼각형의 한 각의 크기와 같으므로, 자와 컴파스로 작도가능하다.

여기서는 각도 \(\alpha = \frac{\theta}{3}\) 는 작도가능하지 않음을 보이자. 즉, \(\cos \alpha\)가 \(\mathbb K\) 안에 들어있지 않음을 보이면 된다.

\(\cos \theta = \frac{1}{2}\) 와 코사인이 만족시키는 공식 \(\cos(3\alpha) = 4\cos^{3}(\alpha) - 3\cos(\alpha)\) 을 활용하면, \(\cos \alpha\)

\(y=\cos \alpha\) 는 유리계수다항식 \(1/2 = 4y^{3} - 3y\) 즉, \((2y)^{3} - 3(2y) - 1 = 0\) 을 만족시킨다.

\(x = 2y\) 로 두면, \(x^{3} - 3x - 1 = 0\) 가 만족된다.

한편 \(x^{3} - 3x - 1 = 0\)는 유리수체 위에서 인수를 갖지 않는 기약다항식이다.

따라서 \(x\)는 \(\mathbb K\)안에 있을 수 없고, \(y\)도 마찬가지이다.

그러므로 각도 \(\theta=\frac{\pi}{3}\) 는 자와 컴파스로 삼등분할 수 없다.

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