골레이 코드 (Golay code)

개요

• [24,12,8] 골레이 코드 \(C\)
• 유한체 \(\mathbb{F}_2\)위에 정의되는 선형코드 \(C\subset \mathbb{F}_2^{24}\)
• 12차원 벡터 공간을 이루며, \(C\)의 원소의 개수는 \(2^{12}=4096\)
• 가장 작은 길이를 갖는 코드는 길이 8
• self-dual

codeword

weight enumerator

• \(W_{C}(x.y)=x^{24}+759 x^{16} y^8+2576 x^{12} y^{12}+759 x^8 y^{16}+y^{24}\)
• 맥윌리엄스 항등식 (MacWilliams Identity)에 의해 다음이 성립

\[ W_{C}(x,y)=W_{C}\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}},\frac{x-y}{\sqrt{2}}\right) \]

길이 8인 코드

• 759개
• 슈타이너 시스템 S(5, 8, 24)으로 불린다

 

 

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

 

관련된 항목들

• 리치 격자(Leech lattice)
• 해밍코드(Hamming codes)
• 슈타이너 시스템 S(5, 8, 24)

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxY21Hc2Q3X25rbzQ/edit
• http://mathworld.wolfram.com/GolayCode.html