그라스만 다양체

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개요

Gr_{nk} = k-plane in n-space

실 그라스만 다양체
\(Gr_{kn}(\mathbb{R}) = \{V\subset \mathbb{R}^n | \dim V = k\}\)
element represented by full rank k x n matrix

Plücker embedding

\(N=\binom{n}{k}\)

\(Gr_{kn}(\mathbb{R}) \to \mathbb{P}^{N-1}\)

Gr(2,4)

\(\Delta_{I}(A)\) = determinant of submatrix of A with column set I

\(\begin{array}{l} \Delta _{1,2}=a_{1,1} a_{2,2}-a_{1,2} a_{2,1} \\ \Delta _{1,3}=a_{1,1} a_{2,3}-a_{1,3} a_{2,1} \\ \Delta _{1,4}=a_{1,1} a_{2,4}-a_{1,4} a_{2,1} \\ \Delta _{2,3}=a_{1,2} a_{2,3}-a_{1,3} a_{2,2} \\ \Delta _{2,4}=a_{1,2} a_{2,4}-a_{1,4} a_{2,2} \\ \Delta _{3,4}=a_{1,3} a_{2,4}-a_{1,4} a_{2,3} \end{array}\)

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