코흐의 눈송이 곡선

개요

(1) 왼쪽 위의 삼각형의 둘레를 P1 그 옆의 삼각형을 P2, 왼쪽아래를 P3, .... 로 한다면

\(P_{n+1}=\frac{4}{3}(P_{n})\) 의 점화식이 성립되며, 따라서 n 을 무한대로 보내면 둘레는 무한으로 발산한다.

(2) (1)의 순서로 삼각형의 넓이를 S1, S2, ... 라 하자. 정확한 식을 위해 처음 한 변의 길이를 a 라고 하면, \(S_{1} = \frac{\sqrt3}{4}a^2\) 이다.

S2에서 원래 삼각형과 늘어난 삼각형의 길이비는 3:1 이고 넓이비는 9:1 이다. 따라서 \(S_{2} = S_{1} + \frac{3}{9}S_{1}\)

마찬가지로 \(S_{3} = S_{2} + \frac{12}{81}S_{1}\), \(S_{4} = S_{3} + \frac{48}{729}S_{1}\)

즉, 둘째 항부터 등비수열을 이루는 수열이다. 무한등비수열의 공식을 쓰면 \(\lim_{n \to \infty} S_{n}=\frac{8}{5}S_{1}\) 로 수렴한다.

이상의 프랙탈은 코흐의 눈송이 곡선으로, 이외에도 시어핀스키 프랙탈 등이 있다. 프랙탈의 시작은 해안선의 길이를 측정하면서부터라고 전해진다.

(3) 프랙탈의 차원(수학적 매개변수) 유클리드 차원과는 다르게 프랙탈 차원은 대개 정수가 아닌 분수로 표현. 프랙탈을 n개의 완전히 똑같은 부분으로 나누었을 때 전체 도형과 한 부분 사이의 닮음비가 m:1이면 프랙탈 도형의 차원 d는 다음과 같이 정의한다.

\(d = \frac{logn}{logm}\)

코흐의 눈송이 곡선을 예로 들어 차원을 계산하면, 4개의 똑같은 부분의 닮음비가 3:1 이므로 차원 d 는 \(\frac{log4}{log3}\)