드람 코호몰로지

개요

드람 코호몰로지 = closed forms modulo exact forms
드람 정리
- 드람 코호몰로지와 싱귤러 호몰로지는 서로 쌍대 관계에 있으며, 이 때의 pairing은 미분형식의 cycle 위에서의 적분으로 주어진다
- (또는) 드람 코호몰로지(해석적인 불변량)와 싱귤러 코호몰로지(위상적 불변량)는 동형이다
훗날 sheaf 코호몰로지 이론으로 발전

한 점이 빠진 유클리드 공간 의 드람 코호몰로지\[H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbb{R}^n \setminus \{0\})\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,n-1 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n-1 \end{cases}\]
n=3 인 경우\[H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbb{R}^3 \setminus \{0\})\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,2 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,2 \end{cases}\]역제곱 벡터장 항목 참조
n=2 인 경우\[H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbb{R}^2 \setminus \{0\})\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,1 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,1 \end{cases}\]각원소 벡터장 항목 참조

\[ \langle \phi, \psi \rangle:=\int_{M}g(\phi,\psi)dV \]

\[ A^k(M)=H_{\Delta}^k(M)\oplus dA^{k-1}(M)\oplus d^{*}A^{k+1}(M) \] 여기서 \(H_{\Delta}^k(M)\)는 space of harmonic forms

1931 드람
Hodge
- Hodge decomposition
  - graduation associated to the so-called "Hodge filtration" on the differential forms of the manifold
Delbeault
- cohomology of sheaves of holomorphic forms
Kodaira
- vanishing theorem
- analytic proof of Lefschetz theorem on hyperplane sections of a projective manifold
- embedding theorem
Leray
- sheaf cohomology using fine resolutions
Grothendieck
- sheaf cohomology in algebraic geometry
Deligne
- existence of a mixed Hodge structure on the cohomology of algebraic varieties
미분형식
수학사 연표

De Rham Cohomology and Harmonic Differential Forms. 2005. In Riemannian Geometry and Geometric Analysis, 83–103. Universitext. Springer Berlin Heidelberg. http://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-28891-0_2.