다항식의 판별식(discriminant)

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개요

n차 다항식의 근을 \(x_1,\cdots, x_n\) 이라 할 때, 판별식은 다음과 같이 정의된다
\((\prod_{1\le i<j\le n} (x_j-x_i))^2\)
교대다항식(alternating polynomial) 의 곱이므로 대칭다항식 이 되며, 근과 계수와의 관계 를 사용하면, 다항식의 계수로 이를 표현할 수 있다

2차식의 판별식

이차식 \(x^2+bx+c\)
반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix) 을 생각하자

\(\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ x_1 & x_2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 2 & x_1+x_2 \\ x_1+x_2 & x_1^2+x_2^2 \end{array} \right)\) 의 행렬식을 구하면, 판별식을 얻는다.

근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식 을 이용하면,

이 행렬은 \(\left( \begin{array}{cc} 2 & -b \\ -b & b^2-2 c \end{array} \right)\) 이며, 행렬식은 \(b^2-4 c\) ㅇㄹ

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