실계수 대칭행렬의 대각화
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개요
- \(n\times n\) 대칭행렬 A에 대하여 다음이 성립한다
- 행렬 A는 n개(counting multiplicity)의 실수인 고유값을 갖는다
- 행렬 A의 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 직교한다
- 행렬 A는 직교대각화 가능하다
예
\(A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right)\) 의 직교대각화
\(P=\left( \begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)\) 의 각 열은 A의 고유벡터가 된다. P는 직교행렬, 즉 \(P^T=P^{-1}\) 을 만족시킨다.
\(D=P^{-1} A P=P^{T} A P =\left( \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)\)
예
\(A=\left( \begin{array}{ccc} 3 & -2 & 4 \\ -2 & 6 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{array} \right)\) 의 직교대각화
\(P=\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{3 \sqrt{2}} & -\frac{2}{3} \\ 0 & \frac{2 \sqrt{2}}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{3 \sqrt{2}} & \frac{2}{3} \end{array} \right)\) 의 각 열은 A의 고유벡터가 되며, P는 직교행렬, 즉 \(P^T=P^{-1}\) 을 만족시킨다.
\(D=P^{-1} A P=P^{T} A P =\left( \begin{array}{ccc} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{array} \right)\)
역사
메모
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