데데킨트 합

다음과 같이 sawtooth 함수를 정의하자
\(\left((x)\right)= \begin{cases} x-\lfloor x\rfloor - 1/2 & \mbox{ if }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} \\ 0 & \mbox{ if } x\in\mathbb{Z} \end{cases}\)
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서로 소인 두 정수 \(h, k>0\)에 대하여 데데킨트 합 \(s(h,k)\)은 다음과 같이 정의됨
\(s(h,k)=\sum_{n\mod k} \left( \left( \frac{n}{k} \right) \right) \left( \left( \frac{hn}{k} \right) \right)\)

\(s(b,c)=\frac{1}{4c}\sum_{n=1}^{c-1} \cot \left( \frac{\pi n}{c} \right) \cot \left( \frac{\pi nb}{c} \right)\)

(정리) 데데킨트
서로 소인 양의 정수 \(b\)와 \(c\)에 대하여 다음이 성립한다.

\(s(b,c)+s(c,b) =\frac{1}{12}\left(\frac{b}{c}+\frac{1}{bc}+\frac{c}{b}\right)-\frac{1}{4}\)

\(F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz\)

사각형 \(\pm iM, 1+\pm iM\) 에서 0은 포함하고, 1은 빠지도록 하는 컨투어 적분

\(D(a,b;c)=\sum_{n\mod c} \left( \left( \frac{an}{c} \right) \right) \left( \left( \frac{bn}{c} \right) \right)\)

Dedekind cotangent sums
- Matthias Beck, Acta Arithmetica 109, no.2 (2003), 109-130

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