라플라스-벨트라미 연산자

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• 라플라시안(Laplacian)

 

 

개요

• 유클리드 공간에 정의된 미분연산자
• 더 일반적으로 리만다양체 위에서 정의할 수 있으며, 메트릭 텐서를 이용하여 쓸 수 있음
•  

 

 

2차원 유클리드 공간

• 라플라시안 연산자는 다음과 같이 정의됨
  \(\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\)
  

 

 

리만다양체의 메트릭 텐서를 이용한 표현

• 리만다양체의 메트릭 텐서가 \(g_{ij}\)로 주어지는 경우
• \((g^{ij})=(g_{ij})^{-1}\)
• 라플라시안
  \(\Delta f=\nabla_i \nabla^i f =\frac{1}{\sqrt{\det g}} \frac{\partial }{\partial x^j}\left(g^{jk}\sqrt{\det g}\frac{\partial f}{\partial x^k}\right) = g^{jk}\frac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^k} + \frac{\partial g^{jk}}{\partial x^j} \frac{\partial f}{\partial x^k} + \frac12 g^{jk}g^{il}\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j}\frac{\partial f}{\partial x^k}\)
  
• 곡면의 경우 \(E=g_{11}\), \(F=g_{12}=g_{21}\), \(G=g_{22}\)

• \(F=0\)인 경우
  \(\Delta f=\frac{1}{\sqrt{EG}}\left( \frac{\partial }{\partial x^1}\left(\sqrt{\frac{G}{E}}\frac{\partial f}{\partial x^1}\right)+\frac{\partial }{\partial x^2}\left(\sqrt{\frac{E}{G}}\frac{\partial f}{\partial x^2}\right)\right)\)
  

 

 

극좌표계의 경우

• 극좌표계
• \(E=1\), \(G=0\), \(F=r^2\)
  \(\sqrt{EG}=r\)
  \(\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}={1 \over r} {\partial f \over \partial r}+ {\partial^2 f \over \partial r^2}+{1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}\)
  

 

 

구면 라플라시안

• 구면(sphere)
  
• \(E=r^2\sin^2\theta\), \(F=0\), \(G=r^2\)
  \(\Delta f ={1 \over r^2 }({\partial^2 f \over \partial \theta^2} +\cot\theta {\partial f \over \partial \theta} + \frac{1}{ \sin^2 \theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2})\)
  

 

 

3차원 구면좌표계의 경우

• 구면좌표계
  \(\Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}\)
  

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표
•  

 

 

메모

• 민코프스키 메트릭과 달랑베르시안
• invariant differential operator http://en.wikipedia.org/wiki/Invariant_differential_operator

 

 

관련된 항목들

• 편미분방정식

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxOWNhYWIxNmEtN2VlMC00N2ZkLThlMzMtODgzZjg5ODIxMmI5&sort=name&layout=list&num=50
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation
• 매스매티카 파일 목록

 

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/라플라스_연산자
• http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_operator
• http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_formulas_in_Riemannian_geometry
• http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_operators_in_differential_geometry
• http://mathworld.wolfram.com/Laplacian.html
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
  
  • http://dlmf.nist.gov/1.5