랜덤워크(random walk)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 2월 12일 (금) 10:58 판
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개요
  • 브라운 운동
  • 도박사의 파산(gambler's ruin)

 

 

동전던지기
  • 앞뒷면이 나올 확률을 가진 동전   
  • 원점에서 출발하여 1차원 격자점에서 동전던지기의 결과를 따라 주변의 격자점으로 움직일 때, 다시 원점으로 돌아올 확률과 기대값
  • nearest-neighbor random walk
  • 앞면이 나올 확률은 p, 왼쪽으로 이동
  • 뒷변이 나올 확률은 q, 오른족으로 이동

 

 

도박사의 파산
  • http://math.ucsd.edu/~anistat/gamblers_ruin.html
  • http://en.wikipedia.org/wiki/Gambler's_ruin
  • \(n_1,n_2\)만큼의 돈을 가진 사람 A,B간의 게임
  • 한번의 게임에서 A가 이길확률을 p, B가 이길확률을 q=1-p라 두고, 둘 중 한명이 파산할 때까지 경기를 반복
  • A,B가 이길 확률은 각각 다음과 같다
    \(P_A= \frac{1-(\frac{q}{p})^{n_1}}{1-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}\)
    \(P_B= \frac{(\frac{q}{p})^{n_1}-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}{1-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}\)
     

(풀이)

A,B가 가진돈을 합하여 \(n_1+n_2\), 상수이다.

A가 n개의 동전을 가진 상태에 있을때, 지게될 확률을 \(P_n\)이라 두자.

점화식 \(P_n=pP_{n+1}+qP_{n-1}\)이 성립한다. \(P_0=0, P_{n_1+n_2}=1\),

 

 

 

 

 

 

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