(정리)
A,B가 각각 \(n_1,n_2\)만큼의 돈을 가지고 있고, 각각의 게임에서'A가 이길확률을 p, B가 이길확률을 q=1-p'라 두자. 한 사람이 파산할 때까지 경기를 반복할 경우, A,B가 파산할 확률은 각각 다음과 같다.
\(p\neq \frac{1}{2}\) 일 때,
\(P_A= \frac{(\frac{q}{p})^{n_1}-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}{1-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}\)
\(P_B= \frac{1-(\frac{q}{p})^{n_1}}{1-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}\)
\(p= \frac{1}{2}\)일 때,
\(P_A= \frac{n_2}{n_1+n_2}\)
\(P_B= \frac{n_1}{n_1+n_2}\)
(증명)
A,B가 가진돈을 합하여 \(N=n_1+n_2\), 상수이다.
A가 n개의 동전을 가진 상태에 있을때, 파산할 확률을 \(P_n\)이라 두자.
점화식 \(P_n=pP_{n+1}+qP_{n-1}\)이 성립한다.\(P_0=1, P_{n_1+n_2}=0\).
선형점화식이므로, 이차방정식 \(px^2-x+q=0\)의 해를 구하면, 1과 \(q/p\) 를 얻는다.
(i) \(p\neq \frac{1}{2}\) 인 경우는, 적당한 상수 \(\alpha,\beta\)에 대하여 \(P_n=\alpha+\beta(\frac{q}{p})^n\) 의 꼴로 쓸 수 있다.
\(P_0=1, P_{n_1+n_2}=0\) 을 이용하여, 상수 \(\alpha,\beta\)를 구할 수 있다.
\(P_n= 1-\frac{1-(\frac{q}{p})^{n}}{1-(\frac{q}{p})^{N}}\) 를 얻는다.
(ii) \(p= \frac{1}{2}\) 인 경우, 적당한 상수 \(\alpha,\beta\)에 대하여 \(P_n=\alpha+\beta n\) 의 꼴로 쓸 수 있다.
\(P_0=1, P_{n_1+n_2}=0\) 을 이용하면, \(\alpha = 1\), \(\beta =-\frac{1}{N}\)를 얻는다.
\(P_n= 1-\frac{n}{N}\) 를 얻는다. ■
응용==
A를 카지노, B를 소량의 돈을 가지고 온 관광객이라고 하자.
A의 돈은 무한대로 볼 수 있으므로, B가 계속 게임을 한다고 가정할 경우, 결국 돈을 다 잃고 나오기 쉽다.
동전던지기==
앞뒷면이 나올 확률을 가진 동전
원점에서 출발하여 1차원 격자점에서 동전던지기의 결과를 따라 주변의 격자점으로 움직일 때, 다시 원점으로 돌아올 확률과 기대값