렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분

수학노트
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간단한 소개

 

 

  • 극좌표계에서 방정식 \(r^2=\cos2\theta\) 로 주어진 곡선을 베르누이의 Lemniscate 라 부름.
  • lemniscate 의 길이는 타원적분으로 표현됨.
  • \(x=r(\theta)\cos\theta,y=r(\theta)\sin\theta\)
  • 곡선의 둘레의 길이는 다음과 같은 적분을 통해 얻어짐

[/pages/2090560/attachments/948622 lemniscate.JPG]

\(\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}\)

 

 

원주율과의 비교
  • \( \frac{\pi}{2} = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\ dt = 1.57079632679489...\)
    가우스가 계산한 값은  원의 둘레의 길이와 lemniscate의 둘레의 길이의 비율
    \(\frac{\omega}{2} = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-t^4}}\ dt = 1.31102877714605...\)
  • \(\frac{\pi }{\omega}=1.1981402347\cdots\) 가 얻어짐
  • 한편\(AGM(a,b)\) 은 두 수 a, b의 산술기하평균을 말하는 것으로 다음과 같은 점화식의 극한으로 정의됨.
    \(a_0=a\) ,\(b_0=b\)
    \(a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\),  \(b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\)
  • 가우스의 계산으로는 \(AGM(1,\sqrt{2})\)

 

 

타원적분을 통한 증명

\(\frac{\omega}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\)

\(\frac{\omega}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2\theta}}=\frac{1}{\sqrt{2}}K(\frac{1}{\sqrt2})\)

 \(K(\frac{1}{\sqrt2})=\frac{\pi}{2M(1,\frac{1}{\sqrt2})}\)

  • 두 결과를 이용하면 

\(\frac{\pi}{\omega}=\frac{2K(\frac{1}{\sqrt2}){M(1,\frac{1}{\sqrt2})}}{\sqrt{2}K(\frac{1}{\sqrt2})} = {\sqrt{2}{M(1,\frac{1}{\sqrt2})}=M(1,{\sqrt2})\)

 

\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\)

 

 

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재미있는 사실

 

 

역사
  • 1798~1799년의 시기에 가우스는 이 곡선의 길이와 관련하여 다음과 같은 기록을 일기에 남김. (Pi-unleashed, 99p)

We have gained some very elegant details about the lemniscate, which have exceeded all expectations, and indeed using methods which open up an entirely new field. That the AGM is equal to \(\frac{\pi }{\omega}\) between 1 and \(\sqrt{2}\) we have confirmed up to the 11th decimal digit; if this is proven, then a truly new field of analysis stands before us.

 

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