로그함수와 유리함수가 있는 정적분

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로그함수와 유리함수가 있는 정적분

개요

다음 정적분의 계산
\(\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(x^{2}+1)}{x^{2}+1}\,dx=\pi\ln2\)
로그 사인 적분 (log sine integrals)의 다음 결과를 이용할 수 있다
\(\int_{0}^{\pi/2}\log(\sin x)\,dx=-\frac{\pi\ln 2}{2}\)

치환적분을 이용한 방법

\(I=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(x^{2}+1)}{x^{2}+1}\,dx\) 에서 \(x=\tan (t)\) 로 두면,

\(I=\int_0^{\frac{\pi }{2}} \log \left(\sec ^2(t)\right) \, dt=-2 \int_0^{\frac{\pi }{2}} \log (\cos (t)) \, dt\)

\(\int_{0}^{\pi/2}\log(\sin x)\,dx=-\frac{\pi\log 2}{2}\) 와 \(\int_{0}^{\pi/2}\log(\sin x)\,dx=\int_{0}^{\pi/2}\log(\cos x)\,dx\) 이용하면, \(I=\pi\ln2\) 를 얻는다.

역사

메모

Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

http://math.stackexchange.com/questions/177160/integral-int-infty-infty-frac-lnx21x21dx

로그함수와 유리함수가 있는 정적분

목차

이 항목의 수학노트 원문주소

개요

치환적분을 이용한 방법

역사

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