로렌츠 변환과 로렌츠 군

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 2월 28일 (화) 08:00 판
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개요

로렌츠 변환은 아인슈타인의 특수상대성 이론에서 등장하는 선형변환이다. 

\(\ \gamma = \frac{1}{ \sqrt{1 - { \frac{v^2}{c^2}}}}\)

\(\beta = v/c\)

 

  • x-축에 대한 boost
    \(\begin{bmatrix}c t' \\ x' \\ y' \\ z'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&-\beta \gamma&0&0\\-\beta \gamma&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c\,t \\ x \\ y \\ z\end{bmatrix}\)
  • 임의의 축에 대한 로렌츠 변환 \(\vec{\beta} = ( \beta_x , \beta_y , \beta_z )\)

임의의 로렌츠 변환은 로렌츠 군의 원소이다.

http://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_transformation#From_group_postulates]

http://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_transformation#From_physical_principles]

 

 

 

 

푸앵카레 변환

로렌츠 변환은 원점을 옮기지 아니하는 선형변환이다. 로렌츠 변환과 더불어 원점을 옮기는 아핀변환은 푸앵카레 변환이라 불린다. 임의의 푸앵카레 변환은 다음과 같이 나타낼 수 있다. (아인슈타인 총합규약이 적용되었다.)

\(x^{\mu} = \Lambda_{\mu \nu} x^{\nu} + \alpha\)

  • 푸앵카레 대칭성과 디락 방정식의 관계
    슈뢰딩거 방정식에 로렌츠 변환에 대한 공변성(클라인-고든 방정식을 준다)과 통계적 해석에 대한 무모순성을 요구하여 얻는 디락의 방법은 수학적 엄밀성에 문제가 있으나 푸앵카레 대칭성을 이용하면 디락 방정식을 수학적으로 모순없이 유도할 수 있다.
역사

 

 

메모

 

 

 

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