로바체프스키 함수

로바체프스키 함수의 정의
\(\Lambda(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin t| \,dt\)
클라우센 함수
\(Cl_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\)
두 함수의 관계
\(Cl_2(\theta)=2\Lambda(2\theta)\)\(Cl_2(2\theta)=2\Lambda(\theta)\)

\(\Lambda(\theta)\)는 기함수이고, \(\pi\) 를 주기로 가지며, 다음 덧셈공식을 만족시킨다.

\(\Lambda(\theta)=n\sum_{k \pmod n}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})\)

(증명)

\(2\sin n\theta =\prod_{k=0}^{n-1}2\sin(\theta+\frac{k\pi}{n})\)

절대값에 로그를 취하여 양변을 적분하면, 적당한 상수 C에 대하여,

\(\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C\)

를 얻는다.

\(n=2\) 일때,

\(\frac{1}{2}\Lambda(2\theta)=\Lambda(\theta)+\Lambda(\theta+\frac{\pi}{2})+C\)

\(\theta=\frac{\pi}{2}\) 이면,

\(\frac{1}{2}\Lambda(\pi)=\Lambda(\frac{\pi}{2})+\Lambda(\pi})+C\)

\(\theta=0\) 이면,

\(\frac{1}{2}\Lambda(0)=\Lambda(0)+\Lambda(\frac{\pi}{2})+C\)

두 식으로부터

\(\Lambda(\pi)=\Lambda(0})\)을 얻는다.

한편, \(\Lambda'(\theta)=- \ln |2\sin t|\) 는 \(\pi\) 를 주기로 가지므로, \(\Lambda(\theta)\) 역시 \(\pi\)를 주기로 갖는 함수가 된다.

\(\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C\) 에서 기함수의 성질을 이용하면, \(C=0\)이 된다.

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