로바체프스키 함수

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2011년 6월 10일 (금) 08:02 판 (피타고라스님이 이 페이지에 로바체프스키_함수.nb 파일을 등록하셨습니다.)
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개요
  • 다이로그 함수(dilogarithm )의 변종으로 이해할 수 있다
  • 로바체프스키 함수의 정의
    \(\Lambda(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin t| \,dt=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (2n\theta)}{n^2}\)
    로바체프스키 함수는 쌍곡기하학의 연구에서 등장하였으며, 3차원 쌍곡다양체의 부피를 표현하는데 유용하다
  • 클라우센 함수(Clausen function)  와의 관계
    \(Cl_2(2\theta)=2\Lambda(\theta)\)

 

 

dilogarithm 함수와의 관계
  • dilogarithm 함수는 복소수 \(|z|<1\)에 대하여 다음과 같이 정의됨
  • \(\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}\)
    \(|z|\leq 1\) 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, \(|z|\leq 1\)에서 연속
  • \(z=e^{2i\theta}\), \(0 \leq \theta \leq \pi\) 일 때,
    \(\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos 2n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}\)

 

\(0 \leq \theta \leq \pi\) 일 때, \(\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}=2\Lambda(\theta)\)

 

 

그래프
  • \(\Lambda(\theta)\)는 기함수이고, \(\pi\) 를 주기로 가짐
  • \(\theta=\pi/6+n\pi\)일 때 최대값을 가진다
    [/pages/4630891/attachments/3093395 lob1.jpg]
    [/pages/4630891/attachments/3093397 lob2.jpg]

 

 

멱급수 전개

\(0 < \theta <\pi\) 일 때,

\(\Lambda(\theta)=\theta-\theta \log(2\theta)+2\theta\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|B_{2n}|}{2n}\frac{(2\theta)^{2n}}{(2n+1)!}\)

\(B_{2n}\)은 베르누이 수

 

 

덧셈공식

\(\Lambda(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})\)

(증명)

\(2\sin n\theta =\prod_{k=0}^{n-1}2\sin(\theta+\frac{k\pi}{n})\)

절대값에 로그를 취하여 양변을 적분하면, 적당한 상수 C에 대하여,

\(\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C\)

를 얻는다.

\(n=2\) 일때,

\(\frac{1}{2}\Lambda(2\theta)=\Lambda(\theta)+\Lambda(\theta+\frac{\pi}{2})+C\)

\(\theta=\frac{\pi}{2}\) 이면,

\(\frac{1}{2}\Lambda(\pi)=\Lambda(\frac{\pi}{2})+\Lambda(\pi})+C\)

\(\theta=0\) 이면,

 

\(\frac{1}{2}\Lambda(0)=\Lambda(0)+\Lambda(\frac{\pi}{2})+C\)

두 식으로부터

\(\Lambda(\pi)=\Lambda(0})\)을 얻는다.

한편,  \(\Lambda'(\theta)=- \ln |2\sin t|\) 는 \(\pi\) 를 주기로 가지므로, \(\Lambda(\theta)\) 역시 \(\pi\)를 주기로 갖는 함수가 된다.

\(\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C\) 에서 기함수의 성질을 이용하면, \(C=0\)이 된다.

 

 

3차원 쌍곡기하학과의 관계
  • 이면각이  \(\alpha, \beta, \gamma\)로 주어진 ideal tetrahedron \(T\)에 대하여, 다음이 성립
    • \(\alpha+\beta+\gamma=\pi\)
    • \(\operatorname{Vol}(T)=\Lambda(\alpha)+\Lambda(\beta)+\Lambda(\gamma)\)
  • 이면각 (dihedral angles) 한 점에서 만나는 세 면이 각각 이루는 각

 

 

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