모든 자연수의 곱과 리만제타함수

간단한 소개

• \(\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}\)

 

 

 

증명

• 감마함수의 성질
  \(\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{\frac{1}{2}-2z} \; \sqrt{2\pi} \; \Gamma(2z) \,\!\)
  
• 리만제타함수의 함수방정식
  \(\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}\)
  
• 을 이용한다.

 

\(\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}\)

\(f(s)=s\zeta(1-s)\) 라 두자.

\(f(s)=s\zeta(1-s)\) 

 

 

\(\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O(|s-1|)\)로부터, 

\(f(s)=s\zeta(1-s)\)

 

 

 

• 파이가 아니라 2파이다?