Ζ(4)와 중심이항계수

수학노트
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개요

<math>\zeta(4) = \frac{36}{17} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}</math>


Comtet의 공식

정리(Comtet의 공식)
<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{17\pi^4}{3240}</math>


증명

아크사인함수의 멱급수로부터 다음을 얻는다.

<math>2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}</math>

양변을 <math>2x</math>로 나누고 적분을 하여 다음을 얻는다

<math>

\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx\,\frac{du}{u}&=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(2x)^{2n-1}}{n^2\binom{2n}{n}}\,dx\,\frac{du}{u}\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{(2u)^{2n}}{4n^3\binom{2n}{n}}\,\frac{du}{u}\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{8n^4\binom{2n}{n}} \end{aligned} \label{cen} </math>

\ref{cen}의 좌변은

<math>I=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx\,\frac{du}{u}=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{x}^{\frac{1}{2}}\frac{(\arcsin x)^2}{xu}\,du\,dx=-\int_{0}^{\frac{1}{2}}\log 2x\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx</math> 이므로,

<math>x=\sin\frac{t}{2}</math>로 치환하면,

<math>

I=-\int_{0}^{\frac{1}{2}}\log 2x\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx=-\int_{0}^{\pi/3}\frac{1}{8} t^2 \cot \left(\frac{t}{2}\right) \log \left(2 \sin \left(\frac{t}{2}\right)\right)\,dt </math> 우변에 부분적분을 적용하면 다음을 얻는다:

<math>

\begin{aligned} I&=-\int_{0}^{\pi/3}\frac{1}{8} t^2 \cot \left(\frac{t}{2}\right) \log \left(2 \sin \left(\frac{t}{2}\right)\right)\,dt\\ &=\frac{1}{4} \int_{0}^{\pi/3} t \log ^2\left(2 \sin \left(\frac{t}{2}\right)\right) \, dt-\frac{1}{8} \left[t^2 \log ^2\left(2 \sin \left(\frac{t}{2}\right)\right)\right]_{0}^{\pi/3}\\ &=\frac{1}{4} \int_{0}^{\pi/3} t \log ^2\left(2 \sin \left(\frac{t}{2}\right)\right) \, dt \end{aligned} </math> 이제 로그 사인 적분 (log sine integrals) 에서 얻은 다음 결과를 사용하자.

<math>\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{17\pi^4}{6480}</math>

따라서,

<math>8I=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=2\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{17\pi^4}{3240}</math>

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메모

  • L. Comtet, Advanced Combinatorics, Reidel, 1974, p. 89, Exercise.


매스매티카 파일 및 계산 리소스

관련논문

  • Borwein, J. M., D. J. Broadhurst, and J. Kamnitzer. “Central Binomial Sums, Multiple Clausen Values and Zeta Values.” arXiv:hep-th/0004153, April 22, 2000. http://arxiv.org/abs/hep-th/0004153.
  • Borwein, David, and Jonathan M. Borwein. “On an Intriguing Integral and Some Series Related to ζ(4).” Proceedings of the American Mathematical Society 123, no. 4 (April 1, 1995): 1191–98. doi:10.2307/2160718. http://www.jstor.org/stable/2160718
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