거듭제곱근 체확장(radical extension)

개요

기본체 <math>F=F_0</math>
다음조건을 만족시키는 <math>F</math>의 체확장 <math>K=F(a_1,a_2,\cdots,a_r)</math>를 거듭제곱근 체확장이라 한다 자연수 <math>n_1,\cdots,n_r</math>이 존재하여, <math>a_1^{n_1}\in F</math> 이고 <math>1<i\leq r</math>에 대하여 <math>a_i^{n_i} \in F(a_1,a_2,\cdots,a_{i-1})</math>

풀어쓰면 다음과 같다 원소 <math>b_1\in F</math>와 자연수 <math>n_1</math>에 대하여, 거듭제곱근 <math>a_1=\sqrt[n_1]b_1</math> 를 추가하여 얻어지는 체확장 <math>F_1=F(a_1)=F(\sqrt[n_1]b_1)</math> 원소 <math>b_2\in F_1</math>와 자연수 <math>n_2</math>에 대하여, 거듭제곱근 <math>a_2=\sqrt[n_2]b_2</math> 를 추가하여 얻어지는 체확장 <math>F_2=F_1(b_2)=F_1(\sqrt[n_2]a_2)</math> 이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 <math>F=F_0</math>의 체확장을 거듭제곱근 체확장이라 한다
예:<math>\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt{2})\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt{2})(\sqrt{\sqrt{2}})=\mathbb{Q}(\sqrt[4]2)</math>:<math>\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt{2})\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})</math>

갈루아 군의 정의는 갈루아 이론 항목을 참조
체 F가 primitive root of unity 를 가진다고 하자.
F의 거듭제곱근 체확장 <math>K=F(\sqrt[n]a)</math> 의 갈루아군은 크기가 n인 순환군이다:<math>\text{Gal}(K/F)\cong C_n</math>