라플라스-벨트라미 연산자

수학노트
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개요

  • 유클리드 공간에 정의된 미분연산자
  • 더 일반적으로 리만다양체 위에서 정의할 수 있으며, 메트릭 텐서를 이용하여 쓸 수 있음 (이 경우 라플라스-벨트라미 연산자로 불리기도 함)
    • 미분형식에 대한 라플라시안 연산자로 일반화되며, 미분다양체의 드람 코호몰로지 이론에서 중요한 역할을 함
  • 컴팩트 리만다양체에서 정의되는 라플라시안의 고유값을 이해하는 문제는 수학적으로 중요


2차원 유클리드 공간

  • 라플라시안 연산자는 다음과 같이 정의됨:<math>\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}</math>



리만다양체의 메트릭 텐서를 이용한 표현

  • 리만다양체의 메트릭 텐서가 <math>g_{ij}</math>로 주어지는 경우
  • <math>(g^{ij})=(g_{ij})^{-1}</math>
  • 라플라시안:<math>\Delta f=\nabla_i \nabla^i f =\frac{1}{\sqrt{\det g}} \frac{\partial }{\partial x^j}\left(g^{jk}\sqrt{\det g}\frac{\partial f}{\partial x^k}\right) = g^{jk}\frac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^k} + \frac{\partial g^{jk}}{\partial x^j} \frac{\partial f}{\partial x^k} + \frac12 g^{jk}g^{il}\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j}\frac{\partial f}{\partial x^k}</math>
  • 곡면의 경우 <math>E=g_{11}</math>, <math>F=g_{12}=g_{21}</math>, <math>G=g_{22}</math>
  • <math>F=0</math>인 경우:<math>\Delta f=\frac{1}{\sqrt{EG}}\left( \frac{\partial }{\partial x^1}\left(\sqrt{\frac{G}{E}}\frac{\partial f}{\partial x^1}\right)+\frac{\partial }{\partial x^2}\left(\sqrt{\frac{E}{G}}\frac{\partial f}{\partial x^2}\right)\right)</math>


극좌표계의 경우

  • 극좌표계
  • <math>E=1</math>, <math>G=0</math>, <math>F=r^2</math>:<math>\sqrt{EG}=r</math>:<math>\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}={1 \over r} {\partial f \over \partial r}+ {\partial^2 f \over \partial r^2}+{1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}</math>



구면 라플라시안

  • 구면(sphere)
  • <math>E=r^2\sin^2\theta</math>, <math>F=0</math>, <math>G=r^2</math>:<math>\Delta f ={1 \over r^2 }({\partial^2 f \over \partial \theta^2} +\cot\theta {\partial f \over \partial \theta} + \frac{1}{ \sin^2 \theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2})</math>



3차원 구면좌표계의 경우

  • 구면좌표계:<math>\Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}</math>



라플라시안의 성질

  • 컴팩트 리만 다양체 <math>M</math>
  • elliptic
  • self-adjoint
  • <math>-\Delta</math> 는 positive
  • <math>-\Delta</math> 의 스펙트럼은 다음과 같이 주어짐
<math>0=\lambda_0<\lambda_1<\lambda_2<\cdots, \lim_{j\to \infty}\lambda_j=\infty</math>
  • <math>j\to \infty</math>일 때, <math>\lambda_{j}\sim j^{2/\dim M}</math>의 근사식을 따른다
  • 스펙트럼 제타 함수 항목 참조

역사


메모



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

관련논문

  • Lingzhong Zeng, The Gaps of Consecutive Eigenvalues of Laplacian on Riemannian Manifolds, arXiv:1606.02589 [math.DG], June 08 2016, http://arxiv.org/abs/1606.02589
  • A. M. Stepin, I. V. Tsylin, Spectral boundary value problems for Laplace--Beltrami operator: moduli of continuity of eigenvalues under domain deformation, arXiv:1605.03614 [math.AP], May 11 2016, http://arxiv.org/abs/1605.03614
  • Philippe Charron, Bernard Helffer, Thomas Hoffmann-Ostenhof, Pleijel's theorem for Schrödinger operators with radial potentials, arXiv:1604.08372 [math.SP], April 28 2016, http://arxiv.org/abs/1604.08372
  • Chiu-Yen Kao, Rongjie Lai, Braxton Osting, Maximization of Laplace-Beltrami eigenvalues on closed Riemannian surfaces, arXiv:1405.4944[math.DG], May 20 2014, http://arxiv.org/abs/1405.4944v3, 10.1051/cocv/2016008, http://dx.doi.org/10.1051/cocv/2016008
  • Sinan Ariturk, Maximal spectral surfaces of revolution converge to a catenoid, arXiv:1603.08496[math.SP], March 28 2016, http://arxiv.org/abs/1603.08496v1
  • Berestovskii, Valera, Irina Zubareva, and Victor Svirkin. “The Spectrum of the Laplace Operator on Connected Compact Simple Lie Groups of Rank 3.” arXiv:1511.03872 [math], November 12, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.03872.
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  • He, Yue. ‘Proof of the P’{o}lya Conjecture’. arXiv:1411.1135 [math], 4 November 2014. http://arxiv.org/abs/1411.1135.
  • Ballmann, Werner, Henrik Matthiesen, and Sugata Mondal. 2014. “Small Eigenvalues of Surfaces.” arXiv:1406.5836 [math], June. http://arxiv.org/abs/1406.5836.
  • Donnelly, Harold, and Charles Fefferman. “Nodal Sets of Eigenfunctions on Riemannian Manifolds.” Inventiones Mathematicae 93, no. 1 (1988): 161–83. doi:10.1007/BF01393691.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'invariant'}, {'LOWER': 'differential'}, {'LEMMA': 'operator'}]
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