락스 쌍 (Lax pair)

수학노트
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개요

  • 해밀턴 역학에서 보존량을 얻기 위해 유용한 방법
  • spectral parameter



기호

  • 위치 변수 <math>q=(q_1,\cdots,q_N)</math>
  • 운동량 변수 <math>p=(p_1,\cdots,p_N)</math>
  • <math>\{q_i,p_i\}=\delta_{ij}</math>
  • 해밀토니안 <math>H(q,p)</math>
  • 운동방정식:<math>\dot{q}_i=\{q_i,H\}=\partial H/\partial p_i</math>:<math>\dot{p}_i=\{q_i,H\}-\partial H/\partial q_i</math>



락스 쌍

  • 많은 적분가능 모형에 락스 쌍 formalism 을 적용할 수 있다
  • 변수 q,p에 의존하는 두 <math>N\times N</math> 행렬 <math>L(q,p) </math> 와 <math>M(q,p)</math>이 락스 방정식 <math>\dot{L}=\{L,M\}</math> 을 만족시키면 이를 락스 쌍이라 한다
  • 해밀토니안에 의한 운동방정식과 같다:<math>\dot{q}_i=\{q_i,H\}=\partial H/\partial p_i</math>:<math>\dot{p}_i=\{q_i,H\}-\partial H/\partial q_i</math>
  • 많은 보존량을 <math>\operatorname{tr}(L^p)</math> 의 형태로 얻을 수 있다:<math>\frac{d}{dt}\operatorname{tr}(L^p)=\operatorname{tr}(p [L,M]L^{p-1})=p\operatorname{tr}(LML^{p-1}-ML^{p})=0</math> 따라서 <math>\operatorname{tr}(L^p)</math> 는 보존량이 된다



isospectral deformation

  • L is an isospectral deformation of L(0) if L(t) has the same eigenvalues for all t
  • <math>L(t)v(t)=\lambda v(t)</math>
  • Record their derivative by a matrix:<math>v'(t)=B(t)v(t)</math>
  • Differentiate <math>L(t)v(t)=\lambda v(t)</math>:<math>L'(t)v(t)+L(t)v'(t)=\lambda v'(t)</math>:<math>L'(t)v(t)+L(t)B(t)v(t)=\lambda B(t)v(t)=B(t)L(t)v(t)</math>:<math>L'(t)v(t)=[B(t),L(t)]v(t)</math>:<math>L'(t)=[B(t),L(t)]</math>
  • So B(t) and L(t) are a Lax pair



예: 토다 격자 (toda lattice)

예: 코테베그-드 브리스 방정식(KdV equation)

  • 다음 두 Sturm-Liouville operator 연산자를 정의하자
    • <math>L=\partial^2+u</math>
    • <math>B=\partial_{x}^3+\frac{3}{2}u\partial_{x}+\frac{3}{4}u_{x}</math>
  • <math>\dot{L}=[L,B]</math> 가 성립할 조건은 <math>u_t=\frac{1}{4}u_{xxx}+\frac{3}{2}uu_x</math> 와 동치이다
  • 코테베그-드 브리스 방정식(KdV equation) 을 얻는다




예 : 사인-고든 방정식

  • 적당한 함수 u(t,x)에 대하여, 두 행렬U, V 을 다음과 같이 정의하자:<math>U=\left( \begin{array}{cc} -4 & 2 i u^{(0,1)}(t,x) \\ -2 i u^{(0,1)}(t,x) & 4 \end{array} \right)</math>, <math>V=\left( \begin{array}{cc} -\frac{1}{4} i \cos (u(t,x)) & \frac{1}{4} i u^{(1,1)}(t,x) \\ \frac{1}{4} i u^{(1,1)}(t,x) & \frac{1}{4} i \cos (u(t,x)) \end{array} \right)</math>
  • 두 미분연산자 <math>L=4i \partial_{x} + U</math>와 <math>M=V</math> 가 락스 쌍이 되려면, <math>u_x=0</math> 이거나 <math>\sin (u(t,x))=u^{(1,1)}(t,x)</math>
  • 사인-고든 방정식



Lax pairs with spectral parameters

  • spectral curve:<math>\{(k,z)\in\mathbb{C}\times\mathbb{C}:\det(kI-L(z))=0\}</math>
  • 대수 곡선이 된다
  • 각 점 <math>(k,z)</math> 에 대한 벡터공간 <math>\operatorname{ker}(kI-L(z))=0</math> 을 통해여, 곡선에 대한 line bundle을 얻는다
  • for examples, look at Introduction to classical integrable systems, chapter 3 http://goo.gl/LaawC
  • integrals of motion:<math>\operatorname{tr} L(z)=\sum_{n}L_{n}z^{n} </math>


역사



메모



관련된 항목들

사전 형태의 자료



관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'lax'}, {'LEMMA': 'pair'}]
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