랜덤워크(random walk)

수학노트
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개요

  • 도박사의 파산(gambler's ruin)
  • 브라운 운동



도박사의 파산

정리

A,B가 각각 <math>n_1,n_2</math>만큼의 돈을 가지고 있고, 각각의 게임에서 A가 이길확률을 p, B가 이길확률을 q=1-p라 두자. 한 사람이 파산할 때까지 경기를 반복할 경우, A,B가 파산할 확률은 각각 다음과 같다.

(i) <math>p\neq \frac{1}{2}</math> 일 때,

<math>P_A= \frac{(\frac{q}{p})^{n_1}-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}{1-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}</math>
<math>P_B= \frac{1-(\frac{q}{p})^{n_1}}{1-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}</math>

(ii) <math>p= \frac{1}{2}</math>일 때,

<math>P_A= \frac{n_2}{n_1+n_2}</math>
<math>P_B= \frac{n_1}{n_1+n_2}</math>
(증명)

A,B가 가진돈을 합하여 <math>N=n_1+n_2</math>, 상수이다.

A가 n개의 동전을 가진 상태에 있을때, 파산할 확률을 <math>P_n</math>이라 두자.

점화식 <math>P_n=pP_{n+1}+qP_{n-1}</math>이 성립한다.<math>P_0=1, P_{n_1+n_2}=0</math>.

선형점화식이므로, 이차방정식 <math>px^2-x+q=0</math>의 해를 구하면, 1과 <math>q/p</math> 를 얻는다.

(i) <math>p\neq \frac{1}{2}</math> 인 경우는, 적당한 상수 <math>\alpha,\beta</math>에 대하여 <math>P_n=\alpha+\beta(\frac{q}{p})^n</math> 의 꼴로 쓸 수 있다.

<math>P_0=1, P_{n_1+n_2}=0</math> 을 이용하여, 상수 <math>\alpha,\beta</math>를 구할 수 있다.

<math>P_n= 1-\frac{1-(\frac{q}{p})^{n}}{1-(\frac{q}{p})^{N}}</math> 를 얻는다.

(ii) <math>p= \frac{1}{2}</math> 인 경우, 적당한 상수 <math>\alpha,\beta</math>에 대하여 <math>P_n=\alpha+\beta n</math> 의 꼴로 쓸 수 있다.

<math>P_0=1, P_{n_1+n_2}=0</math> 을 이용하면, <math>\alpha = 1</math>, <math>\beta =-\frac{1}{N}</math>를 얻는다.

<math>P_n= 1-\frac{n}{N}</math> 를 얻는다. ■


응용

  • A를 카지노, B를 소량의 돈을 가지고 온 관광객이라고 하자.
  • A의 돈은 무한대로 볼 수 있으므로, B가 계속 게임을 한다고 가정할 경우, 결국 돈을 다 잃고 나오기 쉽다.




동전던지기

  • 앞뒷면이 나올 확률을 가진 동전
  • 원점에서 출발하여 1차원 격자점에서 동전던지기의 결과를 따라 주변의 격자점으로 움직일 때, 다시 원점으로 돌아올 확률과 기대값
  • nearest-neighbor random walk
  • 앞면이 나올 확률은 p, 왼쪽으로 이동
  • 뒷변이 나올 확률은 q, 오른족으로 이동





메모



관련된 항목들



사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'gambler'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'ruin'}]
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