렘니스케이트 곡선의 등분 (Lemniscatomy)

개요

렘니스케이트 사인과 코사인

렘니스케이트 사인:<math>x=\int_{0}^{s}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}</math>
렘니스케이트 코사인:<math>x=\int_{c}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}</math>
관계식:<math>s (x)^2+c (x)^2+c (x)^2 s (x)^2=1</math>
덧셈공식:<math>s(x+y)=\frac{s(x) c(y)+c(x) s(y)}{1-s(x) c(x) s(y) c(y)}</math>

렘니스케이트 타원함수

렘니스케이트 사인함수 <math>x=\phi(t)</math>는 타원적분 <math>t=\int_{0}^{x}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}</math> 의 역함수로 정의된다
<math>m\in\mathbb{Z}[i]</math> 에 대하여, <math>y=\phi(mt)</math> 로 두면, <math>mt=\int_{0}^{y}\frac{dy}{\sqrt{1-y^4}}</math> 을 만족한다
<math>x=\phi(t)</math>와 <math>y=\phi(mt)</math>는:<math>\frac{dy}{\sqrt{1-y^4}}=m\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}</math> 의 관계를 만족한다
렘니스케이트 사인함수의 덧셈공식(파그나노의 공식)

<math>\phi(z)</math> 는 다음 자코비 타원함수 와 같다:<math>\text{sn}(z|-1)=z-\frac{z^5}{10}+\frac{z^9}{120}-\frac{11 z^{13}}{15600}+\frac{211 z^{17}}{3536000}+O\left(z^{21}\right)</math>

정리

홀수인 가우스 정수 <math>m=a+bi\in \mathbb{Z}[i]</math>를 생각하자. 적당한 <math>A_i\in \mathbb{Z}[i]</math>가 존재하여 다음을 만족한다

<math>

\phi(m\alpha)=i^{\epsilon}\phi\frac{\phi^{p-1}+A_1\phi^{p-5}+\cdots+A_{(p-1)/4}}{1+A_1\phi^{4}+\cdots+A_{(p-1)/4}\phi^{p-1}} \label{aa} </math> 여기서 <math>\epsilon\in \{0,1,2,3\}</math>은 <math>m-i^{\epsilon}\in (2)</math>를 만족, <math>\phi=\phi(\alpha)</math>이고, <math>p=a^2+b^2</math>.

정리 (아이젠슈타인)

홀수인 가우스 정수 <math>m=a+bi\in \mathbb{Z}[i]</math>이 소수일 때, \ref{aa}의 <math>A_1,\cdots, A_{(p-1)/4}</math>는 <math>m</math>으로 나누어진다.