리대수 sp(6,C)의 유한차원 표현론

개요

• 복소수체 위의 21차원 리대수
• <math>C_3</math> 타입의 단순 리대수

리대수 <math>\mathfrak{sp}(6,\mathbb{C})</math>

• <math>C_3</math> 카르탄 행렬

<math>

\left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 2 \\ \end{array} \right) </math>

• <math>C_3</math> 루트 시스템 <math>\Phi=\Phi^{+}\cup (-\Phi^{+})</math>

<math>

\Phi^{+}=\left\{\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2,2 \alpha _2+\alpha _3,\alpha _2+\alpha _3,2 \alpha _1+2 \alpha _2+\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2+\alpha _3,\alpha _1+2 \alpha _2+\alpha _3\right\} </math>

• 바일군 : 크기 48인 유한반사군 콕세터 군 B3/C3
• <math>C_3</math>의 루트 시스템을 <math>\mathbb{R}^3</math>안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
  • <math>\alpha_1=(1,-1,0)</math>
  • <math>\alpha_2=(0,1,-1)</math>
  • <math>\alpha_3=(0,0,2)</math>
• fundamental weights
  • <math>\omega_1=(1,0,0)</math>
  • <math>\omega_2=(1,1,0)</math>
  • <math>\omega_3=(1,1,1)</math>
• 바일 벡터 <math>\rho=(3,2,1)</math>

유한차원 기약 표현의 분류

• 유한차원 기약 표현 <math>V</math>에 대하여, 적당한 dominant weight <math>\omega=a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3, a,b,c\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>가 존재하여, <math>V\cong L(\omega)</math>가 성립
• 바일 차원 공식(Weyl dimension formula)을 이용하면, 다음을 얻는다

<math>

\dim L(a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3)=\frac{1}{720} (a+1) (b+1) (c+1) (a+b+2) (b+c+2) (b+2 c+3) (a+b+c+3) (a+b+2 c+4) (a+2 b+2 c+5) </math>

기약표현의 예

• 표현 <math>V=L(\lambda)</math>의 지표를 다음과 같이 정의

<math>

\chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} </math>

• <math>x_1=e^{\omega_1}, x_2=e^{\omega_2},x_3=e^{\omega_3}</math>로 두면, <math>\chi_{\lambda}</math>는 <math>\mathbb{Z}[x_1^{\pm},x_2^{\pm},x_3^{\pm}]</math>의 원소가 된다
• 바일 지표 공식 (Weyl character formula) 항목 참조

예1

• 벡터 표현, highest weight은 <math>\omega_1</math>
• 6차원 표현
• 지표

<math>

\chi_{\omega_1}=\frac{x_1}{x_2}+x_1+\frac{x_3}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_1} </math>

• weight diagram

예2

• adjoint 표현, highest weight <math>2\omega_1</math>
• 21차원 표현
• 지표

<math>

\chi_{2\omega_1}=\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_1^2}{x_2^2}+x_1^2+\frac{x_3 x_1}{x_2}+\frac{x_3 x_1}{x_2^2}+\frac{x_2 x_1}{x_3}+\frac{x_1}{x_3}+\frac{x_2^2}{x_1^2}+\frac{x_3^2}{x_2^2}+\frac{x_2}{x_1^2}+x_2+\frac{x_3}{x_1 x_2}+\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_1 x_3}+\frac{x_2}{x_1 x_3}+\frac{x_2^2}{x_3^2}+\frac{x_3}{x_1}+3 </math>

• weight diagram

관련된 항목들

• 리대수 sl(4,C)의 유한차원 표현론
• 리대수 so(6)의 유한차원 표현론
• 콕세터 군 B3/C3

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxMEE2SE5CaDFwclU/edit