모듈라 곡선 X0(50)

수학노트
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개요

  • 대수곡선 \(X_0(50)\)
  • 종수 2
  • 곡선 위에 정의된 함수

\[ u=q^{-1}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1-q^{25n})(1-q^{2n})}{(1-q^{n})(1-q^{50n})} =\frac{1}{q}+1+q+2 q^2+2 q^3+3 q^4 \\ v=q^{-3}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1-q^{25n})(1-q^{2n})^2}{(1-q^{n})(1-q^{50n})^2} = \frac{1}{q^3}+\frac{1}{q^2}+1+q^3+q^7 \]

  • 다음이 성립한다

\[ v+5u^3/v=u^3-2u^2-2u+1 \]

  • involution

\[ u\mapsto -1/u, v\mapsto v/u \]

타원곡선

  • involution에 의한 불변량

\[ s=\frac{(1+u) v}{u^2},t=\frac{(1+u)^2}{u} \]

  • 다음이 성립한다

\[ s^2-s (t-5) t+5 t=0 \]

  • 좌표변환 \(x=-5/t,y=5(2s-t(t-5))/t^2\)로부터 다음의 타원곡선을 얻는다

\[ E:y^2=4 x^3+25 x^2+50 x+25 \]

모듈라 형식

  • 미분형식 \(\omega_E=-\frac{dx}{y}\)의 \(\pi : X_0(50)\to E\)에 대한 pullback은 다음과 같다

\[ 2\pi i f dz=\pi^{*}\omega_E=(q-q^2+q^3+q^4-q^6+2 q^7-q^8-2 q^9+\cdots)\frac{dq}{q} \] 여기서 \(q=e^{2\pi i z}\)


메모


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