바일 지표 공식 (Weyl character formula)

수학노트
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개요

  • 유한차원 단순리대수의 유한차원표현 <math>V</math>에 대하여, 지표는 다음과 같이 정의된다
<math>

\chi(V)=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} </math> 여기서 <math>V_{\lambda'}</math>는 weight <math>\lambda' \in P</math>에 대응되는 <math>V</math>의 weight space

정리 (바일 지표 공식)

<math>\lambda</math>를 highest weight으로 갖는 유한차원 기약표현 <math>V=L(\lambda)</math>의 지표는 다음과 같다

<math>\chi_\lambda:=\chi(V)=\operatorname{ch}(V)=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho}) }{e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho})}{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho})}</math>
  • 또다른 표현
<math>\chi_\lambda=\frac{A_{\lambda+\rho}}{A_{\rho}}</math> 여기서
<math>A_{\mu}=\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]</math>
  • denominator 항등식
<math>{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho}) = e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\prod_{\alpha>0}(e^{\alpha/2}-e^{-\alpha/2})</math>

기호

  • <math>P</math> : weight lattice
  • <math>W</math> : Weyl group


군론에서의 지표

  • <math>h\in \mathfrak{h}</math>에 대하여, <math>e^h</math>는 리군의 원소로 생각할 수 있다
<math>\operatorname{tr}e^h=\oplus_{\lambda'}\operatorname{tr}_{V_{\lambda'}}e^h=\oplus_{\lambda'} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'(h)}</math>

이로부터

<math>\chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'}</math>


함수로 이해하기

  • <math>e^{\lambda}\in \mathbb{Z}[P]</math>
  • <math>\mathfrak{h}</math>에 정의된 함수로 생각하면, <math>x\mapsto e^{2\pi i \langle \lambda,x \rangle}</math>
  • <math>\mathfrak{h}^{*}</math>에 정의된 함수로 생각하면, <math>\mu \mapsto e^{2\pi i (\lambda|\mu)}</math>
  • 예
    • <math>\mu\in \mathfrak{h}^{*}</math> 에 대하여, <math>A_{\rho}(\mu)=\prod_{\alpha>0}(2i)\sin \pi(\mu|\alpha)</math>
    • <math>{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{2\pi i(\rho,v)}) = e^{2\pi i(\rho,v)}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-2\pi i(\alpha,v)})}</math>


바일 차원 공식(Weyl dimension formula)

<math>\operatorname{dim}(L(\lambda))=\prod_{\alpha>0}\frac{(\lambda+\rho|\alpha)}{(\rho|\alpha)}</math>


역사


메모

관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스


수학용어번역


사전 형태의 자료



관련논문

  • Bernshtein, I. N., I. M. Gel’fand, and S. I. Gel’fand. 1971. “Structure of Representations Generated by Vectors of Highest Weight.” Functional Analysis and Its Applications 5 (1) (January 1): 1–8. doi:http://dx.doi.org/10.1007/BF01075841.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'weyl'}, {'LOWER': 'character'}, {'LEMMA': 'formula'}]
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