바일 차원 공식(Weyl dimension formula)

수학노트
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개요

  • 바일 지표 공식 (Weyl character formula) 로부터 유도됨
  • highest weigh이 <math>\lambda</math>로 주어지는 단순 리대수의 기약표현은 다음과 같은 차원을 갖는다:<math>\dim(V_\lambda) = \prod_{\alpha>0}\frac{(\lambda+\rho|\alpha)}{(\rho|\alpha)}</math> 여기서 <math>(\cdot | \cdot)</math> 는 <math>\mathfrak{h}_{\mathbb{R}}^{*}</math>에 정의되는 Killing form, <math>\rho</math> 는 바일 벡터, <math>\alpha>0</math>는 positive root 를 뜻함



예 <math>A_2</math>의 fundamental representations

  • <math>A_2</math>의 root system을 <math>\mathbb{R}^3</math>안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
    • <math>\alpha_1=(1,-1,0)</math>
    • <math>\alpha_2=(0,1,-1)</math>
    • <math>\alpha_3=(1,0,-1)</math>
    • <math>\rho=(1,0,-1)</math>
    • <math>\omega_1=(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},-\frac{1}{3})</math>
    • <math>\omega_2=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},-\frac{2}{3})</math>
  • <math>V_{\omega_1}</math> 의 차원은 다음과 같이 얻을 수 있다:<math>\dim(V_{\omega_1}) = \frac{2\cdot 1\cdot 3}{1\cdot 1\cdot 2}=3</math>
  • <math>V_{\omega_2}</math> 의 차원은 다음과 같이 얻을 수 있다:<math>\dim(V_{\omega_2}) = \frac{1\cdot 2\cdot 3}{1\cdot 1\cdot 2}=3</math>


증명

  • <math>A_{\mu}=\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]</math>로 두자
  • <math>\mu\in \mathfrak{h}^{*}</math> 에 대하여, <math>A_{\rho}(\mu)=\prod_{\alpha>0}(2i)\sin \pi(\mu|\alpha)</math>이 성립한다. 이는 바일 denominator 항등식에서 알 수 있다
<math>

{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho}) = e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\prod_{\alpha>0}(e^{\alpha/2}-e^{-\alpha/2}) </math>

  • 임의의 <math>\mu\in P</math>에 대하여, 다음이 성립한다

\begin{equation}\label{6:Wdenom2} A_{\mu}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)=A_{\rho}\left(\frac{\mu}{h^{\vee}+k}\right)= \prod_{\alpha>0}(2i)\sin \frac{\pi(\mu|\alpha)}{h^{\vee}+k} \end{equation}

  • (\ref{6:Wdenom2})로부터 <math>\lambda\in P^{+}</math>에 대하여, 다음이 성립함을 알 수 있다
<math>A_{\lambda}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)= \prod_{\alpha>0}(2i)\sin \frac{\pi(\lambda|\alpha)}{h^{\vee}+k}</math>
<math>A_{\lambda+\rho}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)= \prod_{\alpha>0}(2i)\sin \frac{\pi(\lambda+\rho|\alpha)}{h^{\vee}+k}.</math>
<math>\chi_{\lambda}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)=\frac{A_{\lambda+\rho}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)}{A_{\rho}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)}= \frac{\prod_{\alpha>0}\sin \frac{\pi(\lambda+\rho|\alpha)}{h^{\vee}+k}}{ \prod_{\alpha>0}\sin \frac{\pi (\rho|\alpha)}{h^{\vee}+k}}.</math>
  • <math>k\to \infty</math>일 때의 극한으로부터, 바일 차원 공식을 얻는다
<math>\dim(V_\lambda) = \frac{\prod_{\alpha>0}(\lambda+\rho |\alpha)}{\prod_{\alpha>0}(\rho |\alpha)}</math>


역사



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스

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