반직접곱 (semidirect product)

개요

• 주어진 두 군으로부터 새로운 군을 얻는 방법의 하나
• 두 군 <math>N</math>, <math>H</math>와 준동형사상 <math>\varphi\colon H\to\operatorname{Aut}(N)</math>이 주어져 있을 때, 집합 <math>N\times H</math>에 다음과 같이 연산을 정의하자

<math>

(n_1,h_1)\cdot(n_2,h_2)=(n_1\varphi(h_1)(n_2),h_1h_2) </math>

• 이 연산은 <math>N\times H</math>에 군의 구조를 준다
  • 항등원은 <math>(1,1)</math>
  • <math>(n,h)</math>의 역원은 <math>(\varphi(h^{-1})(n^{-1}),h^{-1})</math>
• 이렇게 얻어진 군을 <math>N \rtimes H</math>로 나타낸다

예

정이면체군

• 정이면체군 (dihedral group) <math>D_n</math>의 생성원과 관계식은 다음과 같다

<math>\left\langle a,b\mid a^2=b^n=1, a^{-1}ba=b^{-1}\right\rangle</math>

• 크기가 <math>n</math>인 순환군 <math>C_{n}</math>과 <math>\mathbb{Z}_{2}=\{\pm 1\}</math>
• 준동형사상 <math>\varphi\colon \mathbb{Z}_{2} \to\operatorname{Aut}(C_n)</math>를 <math>\varphi(1)(g)=g,\, \varphi(-1)(g)=g^{-1}</math>로 정의하자
• <math>D_{n}= C_{n} \rtimes \mathbb{Z}_{2}</math> 로 쓸 수 있다

푸앵카레 군

• 로렌츠 변환과 로렌츠 군
• 로렌츠군 <math>SO(3,1)</math>은 <math>\mathbb{R}^{3,1}</math>에 작용한다
• 반직접곱 <math>\mathbb{R}^{3,1}\rtimes SO(3,1)</math>을 푸앵카레 군이라 부른다
• 푸앵카레 군의 원소 <math>(a,\Lambda)</math>는 로렌츠군의 원소 <math>\Lambda : \mathbb{R}^{3,1}\to \mathbb{R}^{3,1}</math>와 벡터 <math>a\in \mathbb{R}^{3,1}</math>에 의해 주어진다

메모

• semidirect product
• semi-direct product

사전 형태의 자료

• https://ko.wikipedia.org/wiki/반직접곱