분할수의 근사 공식 (하디-라마누잔-라데마커 공식)

수학노트
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개요

  • 분할수의 근사공식
  • Donald J.Newman의 'Analytic Number Theory'중에서

The table can be extended further of course no apparent pattern emerges. There is a famous story concerning the search for some kind of pattern in this table. This is told of Major MacMahon who kept a list of these partition numbers arranged one under another up into the hundreds. It suddenly occurred to him that, viewed from a distance, the outline of the digits seemed to form a parabola! Thus the number of digits in p(n), the number of partitions of n, is around or, p(n) itself is very roughly . The first crude assesment of p(n)!

  • 위의 글은 MacMahon이 분할수 \(p(n)\)의 테이블을 보고, 그 수가 커지는 모습이 포물선과 비슷하다는 사실을 발견한 순간에 대한 묘사이다.
  • 알려진 결과에 의하면 분할수의 근사공식은 다음과 같다.

\[p(n) \sim \frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}\]

  • 위에서 얻은 근사공식은 \(n=200\)인 경우, 그 값이 \(4.10025 \times 10^{12}\)정도 된다. 한편, 이 경우 분할수의 값은 \(p(200)=3972999029388\)이다.


하디-라마누잔-라데마커 공식

  • \(p(n)\)에 대하여 다음이 성립한다

\[p(n)=\frac{1}{\pi\sqrt{2}}\sum_{k=1}^\infty A_k(n) \sqrt{k}\frac{d}{dn}\left(\frac{\sinh\left(\frac{\pi}{k}\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right)}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}}\right)\] 여기서 \[A_k(n)=\sum_{0 \leq h < k,(h,k)=1}e^{\pi i s(h,k)-2\pi i n \frac{h}{k}}\]이고 \(s(h,k)\)는 데데킨트 합


첫번째 항의 크기

\(K=\pi\sqrt{\frac{2}{3}}\) 로 두자

\(A_1(n)=1\)

\[\frac{\sinh\left(\pi\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right)}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}} \sim \frac{e^{K\sqrt{n}}}{2\sqrt{n}}\]이고 \[\frac{d}{dn}\left(\frac{\sinh\left(\frac{\pi}{k}\sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right)}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}}\right)\sim \frac{Ke^{K\sqrt{n}}}{4n}\]

따라서 \[p(n) \sim \frac{1}{\pi\sqrt{2}}\frac{Ke^{K\sqrt{n}}}{4n}=\frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}\]

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