소수 정리
개요
- <math>x</math> 이하의 소수의 갯수 <math>\pi(x)</math> 에 대해, <math>x</math> 가 크면 <math>\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}</math> 이다. 즉 다음이 성립한다
- <math>\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)\log(x)}{x} = 1</math>
체비셰프 <math>\psi</math>와 <math>\theta</math>
- <math>x>0</math>에 대하여, 다음과 같이 <math>\psi</math>와 <math>\theta</math>를 정의
- <math>
\psi(x)=\sum_{n \leq x}\Lambda(n) </math>
- <math>
\theta(x)=\sum_{p\leq x}\log p </math>
- 정리
<math>x>0</math>에 대하여 다음이 성립한다
- <math>
0\leq \frac{\psi(x)}{x}-\frac{\theta(x)}{x}\leq \frac{(\log x)^2}{2\sqrt{x}\log 2} </math>
소수 계량 함수와의 관계
- 정리
<math>x\geq 2</math>에 대하여 다음이 성립한다
- <math>
\theta(x)=\pi(x)\log x-\int_{2}^{x}\frac{\pi(t)}{t}\, dt\\ \pi(x)=\frac{\pi(x)}{\log x}+\int_{2}^{x}\frac{\theta(t)}{t\log^2 t}\, dt </math>
- 증명
함수 <math>a</math>가 소수집합에 대한 특성함수, 즉
- <math>
a(n) = \begin{cases} 1, & \text{if </math>n<math> is prime}\\ 0, & \text{otherwise} \\ \end{cases} </math> 라 하자.
이 때, <math>\pi(x)=\sum_{1<n \leq x}a(n)</math> 그리고 <math>\theta(x)=\sum_{1<n \leq x} a(n)\log n</math>이 성립한다.
아벨 항등식을 적용하면,
- <math>
\begin{aligned} \theta(x)&=\pi(x)\log x-\pi(1)\log 1-\int_{1}^{x}\frac{\pi(t)}{t}\,dt\\ &=\pi(x)\log x-\int_{2}^{x}\frac{\pi(t)}{t}\,dt \end{aligned} </math>
한편 <math>b(n)=a(n)\log n</math>으로 두면, 다음이 성립한다
- <math>
\begin{aligned} \pi(x)&=\sum_{3/2<n\leq x}b(n)\frac{1}{\log n}\\ &=\frac{\theta(x)}{\log x}-\frac{\theta(3/2)}{\log 3/2}+\int_{3/2}^{x}\frac{\theta(t)}{t\log^2 t}\,dt\\ &=\frac{\pi(x)}{\log x}+\int_{2}^{x}\frac{\theta(t)}{t\log^2 t}\, dt \end{aligned} </math>
동치명제
- 정리
다음의 관계들은 동치이다
- <math>
\lim_{x\to \infty}\frac{\pi(x)\log x}{x}=1 \\ \lim_{x\to \infty}\frac{\theta(x)}{x}=1 \\ \lim_{x\to \infty}\frac{\psi(x)}{x}=1 </math>
로그적분
- <math>\int_2^{\infty} \frac{1}{\log x}\,dx</math>
역사
- 1792-3 가우스의 실험적인 관찰에서 발견
- 1798 르장드르가 소수 정리를 추측
- 1859 리만이 리만 가설을 발표
- 1896 아다마르와 드라발레푸생에 의해 (독립적으로) 복소함수론을 사용한 해석적 증명이 얻어짐
- 1948 에르디시와 셀베르그가 복소함수론을 사용하지 않는 초등적 방법으로 소수 정리를 증명
- 수학사 연표
메모
- [[http://www.mathpages.com/home/kmath032.htm
- http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/CV/CV7.pdf
- <math>\pi(n)\sim \int_2^{n} \frac{1}{\log x}\,dx</math>
- 증명
- <math>\theta(x)=\sum_{p\leq x}\log p \leq \sum_{p\leq x}\log x=\pi(x)\log x</math>
임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여,
- <math>\theta(x)\geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}\log p \geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}(1-\epsilon)\log x = (1-\epsilon)\log x\{\pi(x)+O(x^{1-\epsilon}\}</math>
따라서 <math>\theta(x) \sim x</math> 임을 가정하면,
- <math>\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}</math>
를 얻는다.■
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/소수정리
- http://en.wikipedia.org/wiki/prime_number_theorem
- http://en.wikipedia.org/wiki/Explicit_formula
- http://en.wikipedia.org/wiki/Hardy–Littlewood_tauberian_theorem
리뷰, 에세이, 강의노트
- Gasarch, William, and Larry Washington. “<math>\sum_{p\le N} 1/p = Ln(ln N) + O(1)</math>: An Exposition.” arXiv:1511.01823 [math], November 5, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.01823.
- http://people.oregonstate.edu/~peterseb/misc/docs/pnt2.pdf
- D. Goldfeld, THE ELEMENTARY PROOF OF THE PRIME NUMBER THEOREM: AN HISTORICAL PERSPECTIVE
관련논문
- Selberg, Atle. “An Elementary Proof of the Prime-Number Theorem.” The Annals of Mathematics 50, no. 2 (April 1949): 305. doi:10.2307/1969455.
메타데이터
위키데이터
- ID : Q386292
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'prime'}, {'LOWER': 'number'}, {'LEMMA': 'theorem'}]