순환 체확장(cyclic extension)

수학노트
둘러보기로 이동 검색으로 이동

개요

  • 체<math>F</math>와 그 갈루아체확장 <math>K</math>에 대하여 군 <math>\text{Gal}(K/F)</math>이 순환군이면, 이 체확장을 순환체확장이라 부름
  • 쿰머의 이론에 의하여 일반화된다



(정리)

<math>F</math>가 primitive n-th root of unity <math>\zeta_n</math>를 포함한다 하자.(가령 <math>F</math>가 복소수체를 포함하는 경우)

<math>K</math>가 F의 순환체확장이면, 적당한 원소 <math>a\in F</math> 가 존재하여, <math>K= F(a)</math>와 <math>a^n\in F</math> 를 만족시킨다.


(증명)

힐버트 정리 90... 또는

<math>\text{Gal}(K/F)</math> 가 <math>\sigma</math>에 의하여 생성되는 순환군이라 하자.

<math>K</math>에 정의된 <math>F</math>-선형사상 <math>\tau=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i</math>는 <math>\{\sigma^i\}</math>의 선형독립성(데데킨트 보조정리)에 의하여, 0이 아니다.

따라서 <math>\tau(b)\in K\neq 0 </math> 인 <math>b\in K</math>가 존재한다.

<math>a=\tau(b)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)</math>로 두면, (Lagrange resolvents) 

<math>\sigma(a)=\sigma\left(\tau(b)\right)=\sigma\left(\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)\right)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^{i+1}\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}a</math>

따라서 <math>[F(a):F]\geq n</math> 임을 알 수 있고, <math>[K:F]=n</math>으로부터 <math>K= F(a)</math>를 얻는다.

한편 <math>\sigma(a)=\zeta_n^{-1}a</math> 이므로, <math>\sigma(a^n)=a^n</math>이 된다. 따라서 <math>a^n\in F</math>. ■



쿰머 이론

  • <math>F</math>가 primitive n-th root of unity <math>\zeta_n</math>를 포함한다 하자.
  • <math>F^{\times}/(F^{\times})^n</math> 의 부분군과 exponent가 n인 F의 가환인 갈루아 체확장 사이에는 일대일 대응이 존재한다



역사



메모

관련된 항목들



수학용어번역



사전 형태의 자료



관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'kummer'}, {'LEMMA': 'theory'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=순환_체확장(cyclic_extension)&oldid=52361"