슈바르츠 미분(Schwarzian derivative)

수학노트
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개요

  • 복소함수 f 에 대하여, 슈바르츠 미분을 다음과 같이 정의함
<math>

\begin{aligned} (Sf)(z) &= \left({f''(z) \over f'(z)}\right)' - {1\over 2}\left({f''(z)\over f'(z)}\right)^2 \\ &= {f'''(z) \over f'(z)}-{3\over 2}\left({f''(z)\over f'(z)}\right)^2 \end{aligned} </math>

  • <math>\{f,z\}:=(Sf)(z)</math>



뫼비우스 변환

  • <math>F(z)=\frac{af(z)+b}{cf(z)+d}</math> 일 때, <math>\{f,z\}=\{F,z\}</math> 가 성립한다
  • <math>\{f,z\}=0</math> 이면, <math>f(z)=\frac{az+b}{cz+d}</math>



이계 선형 미분방정식

  • 다음 형태의 이계 선형 미분방정식을 생각하자:<math>u(z)+P(z)u(z)=0</math>
  • <math>u_1(z), u_2(z)</math> 가 이 미분방정식의 일차독립인 두 해이면, <math>w(z)=\frac{u_1(z)}{u_2(z)}</math> 는 다음 미분방정식의 해이다:<math>\{w,z\}=2P(z)</math>



슈바르츠 s-함수

(정리)

복소상반평면을 <math>\alpha\pi,\beta\pi,\gamma\pi</math> 를 세 각으로 갖는 삼각형으로 보내는 해석함수 <math>w=s(z)</math>는 다음 초기하미분방정식<math>z(1-z)y+(c-(a+b+1)z)y'-aby = 0</math> 의 선형독립인 두 해, <math>y_1(z),y_2(z)</math> 의 비로 표현할 수 있다. 즉 <math>w=\frac{y_1(z)}{y_2(z)}</math> 이다.

여기서 <math>\alpha =1-c,\beta =a-b,\gamma =-a-b+c</math>.


(증명)

<math>P(z)=\frac{1}{4}\left(\frac{1-\alpha ^2}{z^2}+\frac{1-\gamma ^2}{(z-1)^2}+\frac{\alpha ^2+\gamma ^2-\beta ^2-1}{z(z-1)}\right)</math> 라 하자.

원하는 해석함수는 미분방정식 <math>\{w,z\}=2P(z)</math>의 해이다.

위에서 서술한대로

<math>u(z)+P(z)u(z)=0</math>의 선형독립인 두 해 <math>u_1(z), u_2(z)</math>에 대하여, <math>w(z)=\frac{u_1(z)}{u_2(z)}</math> 로 표현할 수 있다.


이계 선형 미분방정식 에서 얻은 결과에 따라, 미분방정식 <math>u(z)+P(z)u(z)=0</math>를 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations) 형태로 변형할 수 있다.

따라서 <math>z(1-z)y+(c-(a+b+1)z)y'-aby = 0</math> 의 선형독립인 두 해, <math>y_1(z),y_2(z)</math>에 대하여, <math>w(z)=\frac{y_1(z)}{y_2(z)}</math>로 쓸 수 있다. ■





메모


관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스



사전 형태의 자료



관련논문

  • Tamanoi, Hirotaka. “Higher Schwarzian Operators and Combinatorics of the Schwarzian Derivative.” Mathematische Annalen 305, no. 1 (1996): 127–151. doi:10.1007/BF01444214.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'hypergeometric'}, {'LEMMA': 'function'}]
  • [{'LOWER': 'gaussian'}, {'LOWER': 'hypergeometric'}, {'LEMMA': 'function'}]
  • [{'LOWER': 'ordinary'}, {'LOWER': 'hypergeometric'}, {'LEMMA': 'function'}]
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