안장점 어림, 최급강하법, 라플라스 방법

제목에 쓴 세 용어는 모두 같은 방법을 가리킨다고 합니다. 영어로 쓰자면 각각 saddle-point approximation, method of steepest descent, Laplace's method입니다(참고: 위키피디아의 관련 항목). 아래 지수함수로 펼쳐진 지수함수와 거듭제곱 꼴을 만드는 방법을 알려드렸는데 적분식을 제대로 푼 게 아니라 안장점 어림을 하여 얻은 결과입니다. 궁금해하실 분들이 있을까봐(과연;;) 간단히 소개합니다.

결과부터 쓰면 다음과 같습니다. 좌변의 적분에서 N이 매우 크다면 우변처럼 쓸 수 있다는 말입니다. \[\int e^{Nf(x)}\,dx\approx \sqrt{\frac{2\pi}{N|f''(x_0)|}}e^{Nf(x_0)}\textrm{ as }N\to\infty\]

f(x)는 x₀에서 최대값을 가집니다. 중간에 생략한 단계는 f(x)를 x₀에서 테일러 전개하는 건데요 2차항까지만 보면 다음과 같지요.

\(f(x)\approx f(x_0)-\frac{1}{2}|f''(x_0)|(x-x_0)^2\)

이제 x는 2차항에만 있고 x로 적분하는 건 가우스 적분으로 쉽게 되고, 결과적으로 지수함수에 남는 건 f(x₀)뿐입니다.

앞 글에 나온 적분 결과는 이 방법을 그냥 이용한 겁니다. 적분식을 보기 좋게 다시 썼습니다.

\(\rho(t)\sim \int dL L^d e^{f(L)},\ f(L)=-pL^d-at/L^z\)

물론 여기는 위의 안장점 어림식의 N은 없습니다. 하지만 f(L)이 최대가 되는 L₀에서의 함수값, 즉 f(L₀)가 다른 f(L)보다 적분에 더 많이 기여할 거라는 건 여전히 사실이죠. f를 L로 미분해서 0이 되는 조건을 이용하면,

\(L_0=\left(\frac{az}{pd}t\right)^{1/(d+z)}\)

이 됩니다.

\(f(L_0)=-bt^{d/(d+z)}\)

인데, 계수는 a, p, d, z로 이루어진 지저분한 모양이라 귀찮아서 그냥 b로 써버렸습니다. 이 결과를 지수함수 위에 얹으면 ρ(t)가 t의 펼쳐진 지수함수라는 결과가 나옵니다. 지수함수를 잘 더해서 거듭제곱 꼴을 만드는 것도 마찬가지 방법으로 하면 됩니다. 펼쳐진 지수함수를 잘 더해서 또다른 펼쳐진 지수함수를 만든 결과도 마찬가지 방법을 그대로 적용하면 됩니다. 끝.

스털링 공식에의 응용

\(N! = \Gamma(N+1)=\int_0^{\infty} e^{-x} x^N dx\) 에서 \(x=Nz\) 로 치환하면,

\(N!= \int_0^{\infty} e^{-N z} \left(N z \right)^N N dz=N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{N(\ln z-z)} dz\)

\(f \left( z \right) = \ln{z}-z\)

\(f'(z) = \frac{1}{z}-1\)

\(f''(z) = -\frac{1}{z^2}\)

\(z_0=1\) 일 때, 최대값을 가진다.

따라서

\(N! \approx N^{N+1}\sqrt{\frac{2\pi}{N}} e^{-N}=\sqrt{2\pi N} N^N e^{-N}\)

N=100일 때,

\(\sqrt{\frac{2\pi}{N}} e^{-N}\approx 9.33262\times 10^{-45}\)

\(\int_0^{\infty}e^{N(\ln z-z)} dz\approx 9.32485\times 10^{-45}\)

\(e^{N(\ln z-z)}\) 의 그래프

[/pages/4299959/attachments/3140469 stirling.jpg]

• 수학노트 스털링 공식

메타데이터

위키데이터

• ID : Q1997812

Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'method'}, {'LOWER': 'of'}, {'LOWER': 'steepest'}, {'LEMMA': 'descent'}]