정수계수 삼변수 이차형식(ternary integral quadratic forms)

개요

• \(a,b,c\)는 서로 소이고, 1이 아닌 제곱수를 약수로 갖지 않는 0이 아닌 정수
• 이차형식 \(ax^2+by^2+cz^2=0\) 가 자명하지 않은 유리수해 \((x,y,z)\)를 가질 필요충분조건은 다음과 같다

1. \(a,b,c\)가 모두 같은 부호를 갖지 않는다
2. \(-ab,-bc,-ca\)는 \((\mathbb{Z}/c\mathbb{Z})^{\times},(\mathbb{Z}/a\mathbb{Z})^{\times},(\mathbb{Z}/b\mathbb{Z})^{\times}\)에서 각각 완전제곱이다

세 완전제곱수의 합

정리

자연수 \(n\)에 대하여, 부정방정식 \(x^2+y^2+z^2=n\) 이 정수해를 가질 필요충분조건은 \(n\)이 \(4^a(8b+7), \, a,b\in \mathbb{Z}\) 꼴로 쓰여지지 않는 것이다.

메모

• http://arxiv.org/abs/1204.0134
• http://www.math.ucla.edu/~wdduke/preprints/ternary.pdf
• http://math.stackexchange.com/questions/27471/proof-of-legendres-theorem-on-the-ternary-quadratic-form?rq=1
• Berkovich, Alexander. 2014. “On The Gauss EYPHKA Theorem And Some Allied Inequalities.” arXiv:1406.7835 [math], June. http://arxiv.org/abs/1406.7835.

관련된 항목들

• 르장드르 부호와 자코비 부호
• 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)
• 유리계수 이차형식
• 정수계수 사변수 이차형식(quaternary integral quadratic forms)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxdG41dnNzb2pTVVk/edit

리뷰, 에세이, 강의노트

• Jagy, Integral Positive Ternary Quadratic Forms

관련논문

• Anish Ghosh, Dubi Kelmer, A Quantitative Oppenheim Theorem for generic ternary quadratic forms, arXiv:1606.02388 [math.NT], June 08 2016, http://arxiv.org/abs/1606.02388
• Kyoungmin Kim, Byeong-Kweon Oh, The number of representations of squares by integral ternary quadratic forms (II), arXiv:1604.08719 [math.NT], April 29 2016, http://arxiv.org/abs/1604.08719
• Ju, Jangwon, Inhwan Lee, and Byeong-Kweon Oh. “A Generalization of Watson Transformation and Representations of Ternary Quadratic Forms.” arXiv:1601.01433 [math], January 7, 2016. http://arxiv.org/abs/1601.01433.
• Kim, Kyoungmin, and Byeong-Kweon Oh. “The Number of Representations of Squares by Integral Ternary Quadratic Forms.” arXiv:1509.09111 [math], September 30, 2015. http://arxiv.org/abs/1509.09111.
• Durham, Gabriel. “Representation of Integers by Ternary Quadratic Forms: A Geometric Approach.” arXiv:1509.02590 [math], September 8, 2015. http://arxiv.org/abs/1509.02590.
• Blackwell, Sarah, Gabriel Durham, Katherine Thompson, and Tiffany Treece. “A Generalization of Mordell to Ternary Quadratic Forms.” arXiv:1508.02694 [math], August 11, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.02694.