조화다항식(harmonic polynomial)
둘러보기로 이동
검색으로 이동
개요
- <math>P^{(d)}</math> : 차수가 <math>d</math>인 <math>n</math>변수 동차다항식(Homogeneous polynomial)이 이루는 <math>\mathbb{C}[x_1,\cdots, x_n]</math>의 부분공간
- 라플라시안(Laplacian) <math>\Delta : P^{(d)} \to P^{(d-2)}</math>를 다음과 같이 정의
- <math>\Delta f = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}</math>
- <math>\mathcal{H}^{(d)}:=\ker \Delta </math>의 원소를 <math>d</math>차 조화다항식이라 한다
- 차원
- <math>
\dim \mathcal{H}^{(d)}=\binom{n+d-1}{d}-\binom{n+d-3}{d-2} </math>
- <math>n=3</math>일 때, 조화다항식의 정의역을 단위구면 <math>S^2</math>에 제한하여, 구면조화함수(spherical harmonics) 를 얻는다
예
- 아래에서는 세 변수의 경우, 즉 <math>n=3</math>인 경우
2차 조화다항식
- <math>\begin{array}{l} x^2-y^2 \\ x y \\ x z \\ y z \\ y^2-z^2 \end{array}</math>
3차 조화다항식
- <math>\begin{array}{l} -3 x^2 z+z^3 \\ -x^2 y+y z^2 \\ -x^3+3 x z^2 \\ -x^2 z+y^2 z \\ x y z \\ -3 x^2 y+y^3 \\ -x^3+3 x y^2 \end{array}</math>
조화다항식과 구면조화함수
- <math>\mathbb{C}[x,y,z]</math>의 원소인 조화다항식을 단위구면 <math>S^2\subset \mathbb{R}^3</math>에서 정의된 함수로 볼 때, 구면조화함수(spherical harmonics) 를 얻는다
예
- 2차인 조화함수 <math>-x^2+2 i x y+y^2</math>
- 단위구면 (구면좌표계 참조) <math>x = \sin (\theta ) \cos (\phi ),y= \sin (\theta ) \sin (\phi ),z= \cos (\theta )</math>
- 다음을 얻는다
- <math>
-x^2+2 i x y+y^2=\sin ^2(\theta ) (-\cos (2 \phi )+i \sin (2 \phi ))=-e^{-2 i \phi } \sin ^2(\theta ) </math>
- 이는 <math>Y_{2}^{-2}(\theta,\phi)</math> 의 상수배이다
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
관련논문
- Brackx, Fred, Hennie De Schepper, David Eelbode, Roman Lavicka, and Vladimir Soucek. ‘Fundaments of Quaternionic Clifford Analysis III: Fischer Decomposition in Symplectic Harmonic Analysis’. arXiv:1404.3625 [math], 14 April 2014. http://arxiv.org/abs/1404.3625.