클라우센 함수(Clausen function)

수학노트
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개요

  • 정의:<math>\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}</math>



다이로그 함수와의 관계

<math>\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}</math>
  • <math>|z|\leq 1</math> 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, <math>|z|\leq 1</math>에서 연속
  • <math>z=e^{i\theta}</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math> 일때:<math>\operatorname{Li}_2(e^{i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}</math>:<math>\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=\operatorname{Cl}_2(\theta)</math>
  • 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)



덧셈공식

<math>\Lambda(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{2k\pi}{n})</math>



트리감마 함수와 special values

  • <math>\theta=p\pi/q</math>일 때, (<math>p,q\in\mathbb{N}</math>, <math>p=1,2,\cdots,2q-1</math>):<math>\operatorname{Cl}_2(\frac{p\pi}{q})=\frac{1}{4q^2}\sum_{r=1}^{2q-1}\psi^{(1)}(\frac{r}{2q})\sin\frac{rp\pi}{q}</math> 여기서 <math>\psi^{(1)}</math>는 트리감마 함수(trigamma function)
  • <math>\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G</math>, <math>G</math>는 카탈란 상수
  • <math>\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{12}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))</math>
  • http://mathworld.wolfram.com/GiesekingsConstant.html



역사




메모

<math>\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{Cl}_2(x)\,dx=\frac{2}{3}\zeta(3)</math>


관련된 항목들


사전 형태의 자료



관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'clausen'}, {'LEMMA': 'function'}]
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