포드 원 (Ford Circles)

수학노트
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개요

  • <math>p,q</math>가 서로 소인 자연수일 때, 중심이 <math>(\frac{p}{q},\frac{1}{2q^2})</math> 이고, 반지름이 <math>\frac{1}{2q^2}</math>인 원을 포드 원이라 함
  • <math>x</math>-축에 접한다

포드 원 (Ford Circles)1.gif


관찰

  • 위 그림을 잘 보면서 관찰해 보자. (원 안에 적혀 있는 숫자는, 원 중심의 <math>x</math> 좌표이다.)
  • <math>p,q</math>가 서로소인 자연수이므로, 원 중심의 <math>x</math> 좌표들은 기약분수이다.
  • 서로 다른 두 포드 원은 만나지 않거나, 접한다.
  • 접하는 두 포드 원 사이에는 어떤 관계가 있을까?
    • <math>\frac35 , \frac23</math>
    • <math>\frac35 , \frac58</math>
    • <math>\frac58, \frac23</math>
    • <math>\frac58, \frac{7}{11}</math>
  • 서로 접하는 세 포드 원 사이에는 어떤 관계가 있을까
    • <math>\frac35, \frac58 , \frac23</math>
    • <math>\frac35, \frac{8}{13} , \frac58</math>
    • <math>\frac58, \frac{7}{11} , \frac23</math>
    • <math>\frac47, \frac{7}{12} , \frac35</math>
  • 패리 수열(Farey series)

관찰의 증명

정리

두 포드 원은 만나지 않거나, 접한다.

증명

아래에 서로 다른 두 개의 포드 원을 그렸다. 원 A 는 중심의 <math>x</math> 좌표가 <math>p/q</math> 인 원이고, 원 B 는 중심의 <math>x</math> 좌표가 <math>P/Q</math> 인 원이다. (<math>p,q, P, Q</math> 는 자연수, <math>gcd(p,q) = gcd(P, Q) = 1</math>)

포드 원 (Ford Circles)3.gif


위 그림에서, 점 <math>A</math> 에서 선분 <math>\overline{BG}</math> 위에 내린 발을 <math>C</math> 라 하자. 그러면 삼각형 <math>\triangle ACB</math> 는 직각삼각형이 된다. 피타고라스의 정리를 적용하면,

<math>\overline{AB}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2</math> 이다. 포드 원의 정의에서 <math>A(\frac{p}{q}, \frac{1}{2q^2}), B(\frac{P}{Q}, \frac{1}{2Q^2}), C(\frac{P}{Q},\frac{1}{2q^2} )</math> 이므로, 다음이 성립한다

<math>

\overline{AB}^2 = (\overline{AD} + \overline{EB})^2 + \frac{(Pq - pQ)^2 - 1}{Q^2 q^2} </math>

여기서,

i. <math>|Pq -pQ|> 1</math> 이면, <math>\overline{AB} > \overline{AD} + \overline{EB}</math> 이므로, 두 원은 서로 떨어져 있다.

ii. <math>|Pq -pQ|= 1</math> 이면, <math>\overline{AB} = \overline{AD} + \overline{EB}</math> 이므로, 두 원은 접한다.

iii. <math>|Pq -pQ| <1</math> 일 수는 없다.

왜냐하면, <math>p,q, P, Q</math> 는 자연수이므로 <math>Pq -pQ = 0</math> 이면, <math>p/q \ne P/Q</math> 에 모순이기 때문이다.

위 세 가지 경우에서, 서로 겹쳐 있는 두 포드 원은 없음을 알 수 있다. ■


정리

<math>x</math> 좌표가 <math>p/q</math> 인 포드 원을 <math>C[p/q]</math> 라고 쓰자. 두 포드 원 <math>C[b/a]</math> 과 <math>C[d/c]</math>이 접하면, <math>|ad - bc| = 1</math> 이 성립한다.

증명

관찰 1 의 증명 중 ii) 로부터 알 수 있다. ■

3. Farey Series 와의 관계


메모

포드 원 (Ford Circles)2.gif


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트



관련논문

  • Athreya, Jayadev, Sneha Chaubey, Amita Malik, and Alexandru Zaharescu. “Geometry of Farey-Ford Polygons.” arXiv:1410.4908 [math], October 18, 2014. http://arxiv.org/abs/1410.4908.
  • Fractions L. R. Ford, The American Mathematical Monthly, Vol. 45, No. 9 (Nov., 1938), pp. 586-601

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'ford'}, {'LEMMA': 'circle'}]
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