프로이덴탈 중복도 공식 (Freudenthal multiplicity formula)
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개요
- 유한차원 단순리대수 <math>\mathfrak{g}</math>의 유한차원표현 <math>V</math>에 대하여, <math>V_{\lambda}</math>를 weight <math>\lambda \in P</math>에 대응되는 <math>V</math>의 weight space라 하자
- 정리 (프로이덴탈)
<math>\Lambda</math>를 highest weight으로 갖는 유한차원 기약표현 <math>V=L(\Lambda)</math>에 대하여 <math>m_{\lambda}:=\dim{V_{\lambda}}</math>는 다음을 만족한다
- <math>
(||\Lambda+\rho||^2-||\lambda+\rho||^2)m_{\lambda}=2\sum_{\alpha\in \Delta_{+}}\sum_{j\geq 1}(\lambda+j\alpha,\alpha)m_{\lambda+j\alpha} </math> 여기서 <math>(\cdot,\cdot)</math>은 <math>\mathfrak{g}</math>의 킬링 형식
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리뷰, 에세이, 강의노트
관련논문
- Bremner, Murray R. “Fast Computation of Weight Multiplicities.” Journal of Symbolic Computation 2, no. 4 (December 1986): 357–62. doi:10.1016/S0747-7171(86)80003-7.
- Moody, R. V., and J. Patera. “Fast Recursion Formula for Weight Multiplicities.” Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society 7, no. 1 (July 1982): 237–42.
- Agrawala, Vishnu K., and Johan G. Belinfante. “Weight Diagrams for Lie Group Representations: A Computer Implementation of Freudenthal’s Algorithm in ALGOL and FORTRAN.” BIT Numerical Mathematics 9, no. 4 (December 1969): 301–14. doi:10.1007/BF01935862.