합동수 문제 (congruent number problem)

수학노트
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개요

  • 자연수 중에서 세변이 모두 유리수 길이를 갖는 직각삼각형의 넓이로 나타날 수 있는 수를 합동수(congruent number)라 함
  • 타원곡선 <math>y^2=x^3-n^2x</math> 의 rank가 1이상인 경우를 찾는 문제와 같다
  • 주어진 n이 합동수인지를 판정하는 방법이 있으나, 버치와 스위너톤-다이어 추측에 의존하고 있다 [Tunnell1983]



타원곡선과의 관계

정리

자연수 <math>n</math> 은 합동수이다 

<math>\iff</math> 타원곡선 <math>y^2=x^3-n^2x</math> 이 <math>y\neq0</math>인 유리해를 갖는다.

<math>\iff</math> 타원곡선 <math>y^2=x^3-n^2x</math> 의 rank가 1이상이다.
증명

직각삼각형의 세 변의 길이가 <math>a,b,c</math>로 주어졌다고 가정하고 그 넓이가 <math>n</math> 이라 하자. 다음의 연립방정식이 만족된다.

<math> \left\{ \begin{array}{c} a^2 + b^2 &=& c^2 \\ \frac{ab}{2} &=& n \end{array} \right. </math>

다음 방정식이 만족됨을 알 수 있다.

<math>(\frac{a^2-b^2}{4})^2=(\frac{c}{2})^4-n^2</math>

<math>u=\frac{c}{2}</math>, <math>v=\frac{a^2-b^2}{4}</math> 로 두자.

디오판투스 방정식 <math>u^4-n^2=v^2</math> 가 유리해를 가짐을 알 수 있다.

<math>u^4-n^2=v^2</math>에서 <math>u^6-n^2u^2=u^2v^2</math> 를 얻은 뒤, <math>x=u^2</math>, <math>y=uv</math> 로 두면, 타원곡선의 방정식 <math>y^2=x^3-n^2x</math>을 얻는다.

따라서 세 변의 길이가 <math>a,b,c</math>이고 그 넓이가 <math>n</math>인 직각삼각형이 있으면, 타원곡선 <math>y^2=x^3-n^2x</math>의 유리해를 얻는다.

그러면 역으로 타원곡선 <math>y^2=x^3-n^2x</math>의 유리해가 있을때, 이러한 조건을 만족시키는 직각삼각형을 찾을 수 있을까?

<math>y\neq0</math>인 유리수해 <math>(x,y)</math> 에 대하여

<math>a=|\frac{n^2-x^2}{y}|</math>, <math>b=|\frac{2nx}{y}|</math>, <math>c=|\frac{n^2+x^2}{y}|</math>

로 두면 각 변이 유리수 길이를 갖는 직각삼각형을 얻을 수 있다.

한편 타원곡선 <math>y^2=x^3-n^2x</math>의 torsion은 <math>\{(\infty,\infty), (0,0),(n,0),(-n,0)\}</math> 뿐이므로, <math>y\neq0</math>인 유리수해 <math>(x,y)</math> 의 존재는 타원곡선 <math>y^2=x^3-n^2x</math> 의 rank가 1이상이라는 사실과 동치이다. ■


예

n=1인 경우

  • n=1은 합동수가 아니다
  • 페르마 infinite descent
  • 타원곡선 <math>y^2=x^3-x</math>의 유리수해는 다음과 같다:<math>E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} </math>
  • 따라서 n=1은 합동수가 아니다
  • 타원곡선 y^2=x^3-x 항목 참조


n=5인 경우

  • 5는 합동수이다
    • 세 변의 길이가 다음과 같은 직각삼각형을 만들 수 있다
    • <math>\frac{41}{6},\frac{20}{3},\frac{3}{2}</math>
    • 5는 가장 작은 합동수이다


n=6인 경우

  • 6은 합동수이다
  • 타원곡선 <math>y^2=x^3-36x</math>의 정수해는 <math>(x,y)= (0, 0), (\pm6, 0), (-3,\pm9), (-2,\pm8), (12,\pm36), (18,\pm72), (294,\pm5040)</math> 이다
  • 사각 피라미드 퍼즐 항목 참조


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관련논문



관련도서

  • Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers Volume II
    • Chapter XVI

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'congruent'}, {'LEMMA': 'number'}]
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