행렬의 대각합 (trace)
정의
- \(n\times n\) 행렬 \(A=(a_{ij})\) 의 대각성분의 합 \(\operatorname{tr}(A)\) 을 행렬의 대각합(trace)이라 한다
\[ \operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ii} \]
성질
- \(\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)\)
- \(\operatorname{tr}(B^{-1}AB)=\operatorname{tr}(A)\)
행렬의 곱과 대각합
두 행렬의 곱=
- 두 \(n\times n\)행렬 \(A=(a_{ij})\)와 \(B=(b_{ij})\)에 대하여, \(AB\)의 대각합은 다음과 같이 주어진다
\[ \operatorname{tr}(AB)=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}b_{ji} \]
- \(n=2\)인 경우 \(\operatorname{tr}(AB)=a_{1,1} b_{1,1}+a_{2,1} b_{1,2}+a_{1,2} b_{2,1}+a_{2,2} b_{2,2}\)
- \(n=3\)인 경우 \(\operatorname{tr}(AB)=a_{1,1} b_{1,1}+a_{2,1} b_{1,2}+a_{3,1} b_{1,3}+a_{1,2} b_{2,1}+a_{2,2} b_{2,2}+a_{3,2} b_{2,3}+a_{1,3} b_{3,1}+a_{2,3} b_{3,2}+a_{3,3} b_{3,3}\)
세 행렬의 곱
- 세 \(n\times n\)행렬 \(A=(a_{ij})\), \(B=(b_{ij})\), \(C=(c_{ij})\)에 대하여, \(ABC\)의 대각합은 다음과 같이 주어진다
\[ \operatorname{tr}(ABC)=\sum_{i,j,k=1}^{n}a_{ij}b_{jk}c_{ki} \]
- \(n=2\)인 경우
\[\operatorname{tr}(ABC)=a_{1,1} b_{1,1} c_{1,1}+a_{1,2} b_{2,1} c_{1,1}+a_{2,1} b_{1,1} c_{1,2}+a_{2,2} b_{2,1} c_{1,2}+a_{1,1} b_{1,2} c_{2,1}+a_{1,2} b_{2,2} c_{2,1}+a_{2,1} b_{1,2} c_{2,2}+a_{2,2} b_{2,2} c_{2,2}\]
- \(n=3\)인 경우
\[ \begin{aligned} \operatorname{tr}(ABC)&=a_{1,1} b_{1,1} c_{1,1}+a_{1,2} b_{2,1} c_{1,1}+a_{1,3} b_{3,1} c_{1,1}+a_{2,1} b_{1,1} c_{1,2}+a_{2,2} b_{2,1} c_{1,2}+a_{2,3} b_{3,1} c_{1,2}\\ &+a_{3,1} b_{1,1} c_{1,3}+a_{3,2} b_{2,1} c_{1,3}+a_{3,3} b_{3,1} c_{1,3}+a_{1,1} b_{1,2} c_{2,1}+a_{1,2} b_{2,2} c_{2,1}+a_{1,3} b_{3,2} c_{2,1}\\ &+a_{2,1} b_{1,2} c_{2,2}+a_{2,2} b_{2,2} c_{2,2}+a_{2,3} b_{3,2} c_{2,2}+a_{3,1} b_{1,2} c_{2,3}+a_{3,2} b_{2,2} c_{2,3}+a_{3,3} b_{3,2} c_{2,3}\\ &+a_{1,1} b_{1,3} c_{3,1}+a_{1,2} b_{2,3} c_{3,1}+a_{1,3} b_{3,3} c_{3,1}+a_{2,1} b_{1,3} c_{3,2}+a_{2,2} b_{2,3} c_{3,2}+a_{2,3} b_{3,3} c_{3,2}\\ &+a_{3,1} b_{1,3} c_{3,3}+a_{3,2} b_{2,3} c_{3,3}+a_{3,3} b_{3,3} c_{3,3} \end{aligned} \]
수학용어번역
- 대각합, trace - 대한수학회 수학용어집
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