2-term 다이로그 항등식 (dilogarithm identities) 과 행렬

수학노트
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개요

<math>

\left\{ \begin{array}{c} 1-x_ 1=x_ 1^{a} x_ 2^{b} \\ 1-x_ 2=x_ 1^{b} x_ 2^{c} \\ 0<x_i<1, \, i=1,2 \end{array} \right.</math>


쌍대성

  • 두 2x2 행렬 A , B 가 서로 역행렬일때,
  • <math>L(x)+L(1-x)=2L(1)</math>:<math>\log (1-x)=A\log x</math>:<math>\log x=A^{-1}\log (1-x)</math>


행렬의 예

  • complete list of the form <math> \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}</math> only a+b = 2,1,1/2,0 allowed
<math> \begin{bmatrix} a & 2-a \\ 2-a & a \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a & 1-a \\ 1-a & a \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a & 1/2-a \\ 1/2-a & a \end{bmatrix},\begin{bmatrix} a & -a \\ -a & a \end{bmatrix}</math>
  • complete list of the form <math> \begin{bmatrix} 2a & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}</math>
<math> \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \infty & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}</math>
  • M(3,5):<math>\left[ \begin{array}{cc} 5/2 & 2 \\ 2 & 2 \end{array} \right]</math>
  • M(3,4):<math> \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 3 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 8 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}</math>
  • M(2,5):<math> \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}</math>
  • M(6,7):<math> \begin{bmatrix} 4/3 & 1/3 \\ 1/3 & 2/3 \end{bmatrix}</math>
  • d=0 case (not positive definite):<math> \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 8/9 & 1/3 \\ 1/3 & 0 \end{bmatrix}</math>


예

  • 다음 행렬 :<math>\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}</math>에 대응되는 다이로그 항등식
<math>

L\left(\sqrt{\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right)}\right)+L\left(\frac{1}{2} \left(-2 \sqrt{2+\sqrt{5}}+\sqrt{5}+3\right)\right)=\frac{13}{10}L(1) </math>

을 증명하려 한다

  • 방정식
<math>

\left\{ \begin{array}{c} 1-x_ 1=x_ 1^{4} x_ 2 \\ 1-x_ 2=x_ 1 x_ 2 \\ 0<x_i<1, \, i=1,2 \end{array} \right.</math> 의 해는 <math>x_1=y, x_2=\frac{1}{1+y}</math>로 주어진다. 여기서 <math>0<y<1</math>는 <math>y^4+y^2-1=0</math>의 해

<math>

L(u)+L(v)=L(u v)+L(\frac{u(1-v)}{1-u v})+L(\frac{v(1-u)}{1-u v}) </math> 에 <math>u=y, v=\frac{1}{1+y}</math>을 적용하면,

<math>

L(y)+L (\frac{1}{1+y})=L(\frac{y}{y+1})+L(y^2)+L(1-y) \label{y5} </math>

<math>

L(x)+L(1-x)=L(1) </math> 을 이용하면, \ref{y5}로부터 다음을 얻는다

<math>

2L(y)+2L (\frac{1}{1+y})=2L(1)+L(y^2) </math>

  • <math>y^2=\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right)</math>이므로, <math>L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{3}{5}L(1)</math>
  • 따라서,
<math>

L(y)+L (\frac{1}{1+y})=L(1)+\frac{3}{10}L(1)=\frac{13}{10}L(1) </math>


역사



메모



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