P진 해석학(p-adic analysis)

수학노트
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개요

  • 실수체는 유리수체로부터 완비성을 갖도록 해줌으로써 구성됨
  • 그러나 실수체만이 유리수체의 완비화를 통해 얻어지는 것은 아님.
  • 완비성을 갖도록 해주기 위해서는 먼저 유리수 사이에 거리의 개념이 필요
    • 유리수체 위의 거리는 각 소수 p에 대응되는 거리의 개념과, 잘 알려진 (실수를 만드는) 절대값이 존재



유리수체에 정의할 수 있는 거리의 개념

실수에서의 절대값

  • 절대값은 다음의 성질을 만족한다
  1. <math>|x|=0 \iff x=0</math>
  2. <math>|xy|=|x||y|</math>
  3. <math>|x+y|\leq |x|+|y|</math> (삼각부등식)

p-adic 절대값

  • 소수 <math>p</math>와 정수 <math>x</math>에 대하여, <math>\operatorname{ord}_p x</math>를 <math>a\equiv 0\pmod {p^m}</math>을 만족하는 최대의 <math>m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>으로 정의하자
  • 유리수 <math>x=a/b</math>에 대해서는 <math>\operatorname{ord}_p x:=\operatorname{ord}_p a-\operatorname{ord}_p b</math>
  • 유리수체 <math>\mathbb{Q}</math>위에 함수 <math>|\cdot|_p</math>를 다음과 같이 정의하자
<math>

|x|_{p} = \begin{cases} \frac{1}{p^{\operatorname{ord}_p x}}, & \text{if <math>x\neq 0</math>} \\ 0, & \text{if <math>x=0</math>} \\ \end{cases} </math>

  • <math>|\cdot|_p</math>는 다음의 성질을 만족한다
  1. <math>|x|_{p}=0 \iff x=0</math>
  2. <math>|xy|_{p}=|x|_{p}|y|_{p}</math>
  3. <math>|x+y|_{p}\leq |x|_{p}+|y|_{p}</math> 뿐만 아니라, <math>|x+y|_{p}\leq \operatorname{max} \{|x|_{p},|y|_{p}\}</math>가 성립한다.

유리수의 p진 전개

  • 주어진 소수 p에 대하여, 모든 유리수를 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다 (p진법 전개)
<math>\sum_{k=n}^{\infty}b_{k}p^{k},\,b_k\in\{0,1,\cdots,p-1\}</math>
  • 정수 k가 커질수록, <math>p^{k}</math> 는 p진체에서 점점 0에 가까워진다
  • 2-adic field에서는, <math>1+2+4+8+16+32 +\cdots = \cdots 11111_{2}=-1</math> 이 성립함.
  • 3-adic field에서는 <math>2+2\cdot3+2\cdot3^{2}+2\cdot3^{2}\cdots=\cdots 22222_{3}=-1</math>
  • 7-adic field에서는 <math>4+3\cdot 7 +3\cdot 49+\cdots=\cdots 3334_{7} = 1/2</math>


실수의 십진법 표현과의 비교

  • 오른쪽으로 무한개의 소수자리
  • 왼쪽으로 ...


로랑급수와의 유사성

  • 로랑급수:<math>\frac{a_{-3}}{x^3}+\frac{a_{-2}}{x^2}+\frac{a_{-1}}{x}+a_0+ a_1 x+ a_2 x^2+ a_3x^3+ a_4x^4+\cdots</math> 에서 고차항은 급수의 국소적인 행동에 작은 영향


다항식의 해

  • <math>\mathbb{Q}_{5}</math> 에서 방정식 <math>x^2+1=0</math>의 두 해는 다음과 같다
<math>x=2+5+2\times 5^2+5^3+3\times 5^4+4\times 5^5+2\times 5^6+3\times 5^7+\cdots</math>
<math>x=3+3\times 5+2\times 5^2+3\times 5^3+5^4+2\times 5^6+5^7+4\times 5^8+\cdots</math>


하 측도 (Haar measure)

  • <math>(\mathbb{Q}_p,+)</math>는 국소컴팩트 군이며 하 측도를 가진다
  • 하 측도 <math>\mu=dx</math>가 <math>\mu(\mathbb{Z}_p)=1</math>이 되도록 선택할 수 있다
  • 임의의 측도가능집합 <math>A</math>와 <math>a\in \mathbb{Q}_p</math>에 대하여 <math>\mu(x A)=|x|_p \mu(A)</math>가 성립한다
  • 측도 <math>\frac{dx}{|x|_p}</math>는 <math>(\mathbb{Q}_p^{\times},\times)</math>에 정의되는 하 측도이다
  • 다음이 성립한다
<math>

\operatorname{vol}_{\frac{dx}{|x|_p}}(\mathbb{Z}_p^{\times})=\int_{\mathbb{Z}_p^{\times}}\frac{dx}{|x|_p}=\int_{\mathbb{Z}_p^{\times}}\,dx=\operatorname{vol}_{dx}(\mathbb{Z}_p^{\times}) </math> 여기에 <math>\mathbb{Z}_p^{\times}=\cup_{a\neq 0 \mod p} (a+p\mathbb{Z}_p)</math>을 이용하면,

<math>

\operatorname{vol}_{dx}(\mathbb{Z}_p^{\times})=(p-1)\operatorname{vol}_{dx}(p\mathbb{Z}_p)=\frac{p-1}{p} </math>

  • 따라서 측도 <math>d^{\times}x:=\frac{p}{p-1}\frac{dx}{|x|_p}</math>는 <math>\operatorname{vol}_{d^{\times}x}(\mathbb{Z}_p^{\times})=1</math>을 만족한다
  • 실수부가 0보다 큰 복소수 <math>s</math>에 대하여, 다음이 성립한다
<math>

\int_{\mathbb{Z}_p\backslash\{0\}}|x|_p^s\,d^{\times}x=\sum_{k=0}^{\infty}p^{-ks}\int_{\mathbb{Z}_p^{\times}}d^{\times}x=\frac{1}{1-p^{-s}} \label{eul} </math>

  • \ref{eul}의 첫번째 등식에서는 <math>\mathbb{Z}_p\backslash\{0\}=\cup_{k\geq 0} (p^k\mathbb{Z}_p^{\times})</math>을 이용하였다.
  • \ref{eul}는 리만제타함수의 소수 p에 해당하는 오일러 인수(Euler factor)가 된다


메모

  • Browning, Tim, and Rachel Newton. “The Proportion of Failures of the Hasse Norm Principle.” arXiv:1411.7775 [math], November 28, 2014. http://arxiv.org/abs/1411.7775.


역사

  • 1897년 쿠르트 헨젤이 개념을 도입
  • 1913년 헨젤 zahlentheorie
  • 1920년 Hasse principle

관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료



관련도서


리뷰, 에세이, 강의노트


관련논문

  • Errthum, Eric. “A Division Algorithm Approach to <math>p</math>-Adic Sylvester Expansions.” arXiv:1508.01503 [math], August 6, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01503.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'p'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'adic'}, {'LEMMA': 'number'}]
  • [{'LOWER': 'p'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'adic'}, {'LOWER': 'rational'}, {'LEMMA': 'number'}]
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