"미분형식 (differential forms)과 다변수 미적분학"의 두 판 사이의 차이
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* 1-form <math>\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz</math> | * 1-form <math>\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz</math> | ||
* C 위에서 2-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다<br><math>\int_{C}\omega=\int_{a}^{b}P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\,dt</math><br> | * C 위에서 2-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다<br><math>\int_{C}\omega=\int_{a}^{b}P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\,dt</math><br> | ||
| − | * C 위에서 벡터장<math>\mathbf{F}=(P,Q,R)</math>의 적분과 같다 | + | * C 위에서 벡터장<math>\mathbf{F}=(P,Q,R)</math>의 적분과 같다<br><math>\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}\omega</math><br> |
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| − | + | <math>\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) \, dt=\int_{a}^{b}P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\,dt=\int_{C}\omega</math>. ■ | |
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* 2-form <math>\omega= f_x\, dy \wedge dz + f_y\, dz \wedge dx+f_z\, dx \wedge dy</math> | * 2-form <math>\omega= f_x\, dy \wedge dz + f_y\, dz \wedge dx+f_z\, dx \wedge dy</math> | ||
* S 위에서 2-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다<br><math>\iint_{S}\omega=\iint_D \left[ f_{x} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)} + f_{y} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)}f_{z} ( \mathbf{x} (s,t)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)} \right]\, ds\, dt</math><br> | * S 위에서 2-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다<br><math>\iint_{S}\omega=\iint_D \left[ f_{x} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)} + f_{y} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)}f_{z} ( \mathbf{x} (s,t)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)} \right]\, ds\, dt</math><br> | ||
| + | * 곡면 S위에서 벡터장<math>\mathbf{F}=(f_x,f_y,f_z)</math>의 적분과 같다<br><math>\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_{S}\omega</math><br> | ||
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| + | <math>{\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}=\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t))}\right)</math> 을 관찰하자. | ||
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| + | <math>\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_D (f_x,f_y,f_z)\cdot ({\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t})\, ds\, dt=\iint_{S}\omega</math>. ■ | ||
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2011년 4월 10일 (일) 07:22 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
1-형식의 적분
- 매개곡선 C: \(\mathbf{r}(t)=( x(t), y(t), z(t))\), \(a\leq t \leq b\)
- 1-form \(\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz\)
- C 위에서 2-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다
\(\int_{C}\omega=\int_{a}^{b}P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\,dt\) - C 위에서 벡터장\(\mathbf{F}=(P,Q,R)\)의 적분과 같다
\(\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}\omega\)
(증명)
\(\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) \, dt=\int_{a}^{b}P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\,dt=\int_{C}\omega\). ■
2-형식의 적분
- 3차원의 매개곡면 S \[\mathbf{x} (s,t)=( x(s,t), y(s,t), z(s,t))\], \((s,t)\in D\)
- 2-form \(\omega= f_x\, dy \wedge dz + f_y\, dz \wedge dx+f_z\, dx \wedge dy\)
- S 위에서 2-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다
\(\iint_{S}\omega=\iint_D \left[ f_{x} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)} + f_{y} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)}f_{z} ( \mathbf{x} (s,t)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)} \right]\, ds\, dt\) - 곡면 S위에서 벡터장\(\mathbf{F}=(f_x,f_y,f_z)\)의 적분과 같다
\(\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_{S}\omega\)
(증명)
\({\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}=\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t))}\right)\) 을 관찰하자.
\(\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_D (f_x,f_y,f_z)\cdot ({\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t})\, ds\, dt=\iint_{S}\omega\). ■
응용1. 스토크스 정리
재미있는 사실
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
- 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
역사
- http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
- Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
- Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
- 수학사연표
메모
관련된 항목들
다른 과목과의 관련성
수학용어번역
사전형태의 자료
관련논문
- Covariant and Contravariant Vectors
- S. R. Deans, Mathematics Magazine, Vol. 44, No. 1 (Jan., 1971), pp. 5-8
- Differential Forms for Constrained Max-Min Problems: Eliminating Lagrange Multipliers
- Frank Zizza, The College Mathematics Journal, Vol. 29, No. 5 (Nov., 1998), pp. 387-396
- What are Tensors?
- Peter Scherk and Michael Kwizak, The American Mathematical Monthly, Vol. 58, No. 5 (May, 1951), pp. 297-305
- Differential Forms, the Early Days; or the Stories of Deahna's Theorem and of Volterra's Theorem
-
- Hans Samelson, The American Mathematical Monthly, Vol. 108, No. 6 (Jun. - Jul., 2001), pp. 522-530
관련도서 및 추천도서
- Differential Forms and Applications
- Manfredo P. Do Carmo
- Manfredo P. Do Carmo
- From Calculus to Cohomology: De Rham Cohomology and Characteristic Classe
[3]
- Ib H. Madsen (Author), Jxrgen Tornehave
- 뒷부분은 학부생이 보기에 다소 어렵지만, 앞부분만으로도 가치가 있음.
- Ib H. Madsen (Author), Jxrgen Tornehave